Bài tập các phép tính về phân thức

50 người thi tuần này 5.0 10 K lượt thi 85 câu hỏi

🔥 Đề thi HOT:

549 người thi tuần này

Đề kiểm tra Cuối kì 1 Toán 8 KNTT có đáp án (Đề 1)

5.3 K lượt thi 19 câu hỏi

381 người thi tuần này

10 Bài tập Bài toán thực tiễn gắn với việc vận dụng định lí Thalès (có lời giải)

1.8 K lượt thi 10 câu hỏi

309 người thi tuần này

10 Bài tập Bài toán thực tiễn liên quan đến thể tích, diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều (có lời giải)

1.1 K lượt thi 10 câu hỏi

265 người thi tuần này

10 Bài tập Bài toán thực tiễn gắn với việc vận dụng định lí Thalès (có lời giải)

836 lượt thi 10 câu hỏi

235 người thi tuần này

10 Bài tập Nhận biết hai hình đồng dạng, hai hình đồng dạng phối cảnh (có lời giải)

597 lượt thi 10 câu hỏi

234 người thi tuần này

10 Bài tập Ứng dụng của xác suất thực nghiệm trong một số bài toán đơn giản (có lời giải)

591 lượt thi 10 câu hỏi

212 người thi tuần này

Cách tìm mẫu thức chung cực hay, nhanh nhất

2.9 K lượt thi 21 câu hỏi

172 người thi tuần này

10 Bài tập Các bài toán thực tiễn gắn với việc vận dụng định lí Pythagore (có lời giải)

1.2 K lượt thi 10 câu hỏi

Đề thi liên quan:

Tổng hợp lí thuyết và bài tập Toán 8 Chương 2: Phân thức đại số

8232 lượt thi

Thi ngay

Bài tập Toán 8: Phân thức đại số

1995 lượt thi

Thi ngay

Bài tập Toán 8: Tính chất cơ bản của phân thức

2080 lượt thi

Thi ngay

Bài tập Toán 8: Rút gọn phân thức

2352 lượt thi

Thi ngay

Bài tập Toán 8: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

2249 lượt thi

Thi ngay

Bài tập Toán 8: Phép cộng các phân thức đại số

2119 lượt thi

Thi ngay

Bài tập Toán 8: Phép trừ các phân thức đại số

1974 lượt thi

Thi ngay

Bài tập Toán 8: Phép nhân các phân thức đại số

1883 lượt thi

Thi ngay

Bài tập Toán 8: Phép chia các phân thức đại số

1711 lượt thi

Thi ngay

Bài tập Toán 8: Biến đổi các biểu thức hữu tỷ. Giá trị của phân thức

2216 lượt thi

Thi ngay

Danh sách câu hỏi:

Câu 1:

Cho a+b+c=0 và a, b, c đều khác 0. Rút gọn biểu thức $A = \frac{a b}{a^{2} + b^{2} - c^{2}} + \frac{b c}{b^{2} + c^{2} - a^{2}} + \frac{c a}{c^{2} + a^{2} - b^{2}}$

Xem đáp án

Câu 2:

Rút gọn biểu thức $A = \frac{1}{1 - x} + \frac{1}{1 + x} + \frac{2}{1 + x^{2}} + \frac{4}{1 + x^{4}} + \frac{8}{1 + x^{8}}$

Xem đáp án

Câu 3:

Rút gọn biểu thức $B = \frac{3}{(1.2)^{2}} + \frac{5}{(2.3)^{2}} + . . . + \frac{2 n + 1}{[n (n + 1)]^{2}}$

Xem đáp án

Câu 4:

Xác định các số a, b, c sao cho: $\frac{1}{(x^{2} + 1) (x - 1)} = \frac{a x + b}{x^{2} + 1} + \frac{c}{x - 1} (1)$

Xem đáp án

Câu 5:

Cho $A = \frac{1}{(x + y)^{3}} (\frac{1}{x^{4}} - \frac{1}{y^{4}})$
$B = \frac{2}{(x + y)^{4}} (\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{y^{3}})$
$C = \frac{2}{{(x + y)}^{5}} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}})$
Thực hiện phép tính A+B+C

Xem đáp án

Câu 6:

Thực hiện các phép tính $\frac{x + 3}{x + 1} - \frac{2 x - 1}{x - 1} - \frac{x - 3}{x^{2} - 1}$

Xem đáp án

Câu 7:

Thực hiện các phép tính $\frac{1}{x (x + y)} + \frac{1}{y (x + y)} + \frac{1}{x (x - y)} + \frac{1}{y (y - x)}$

Xem đáp án

Câu 8:

Thực hiện phép tính: $A = \frac{1}{(a - b) (a - c)} + \frac{1}{(b - a) (b - c)} + \frac{1}{(c - a) (c - b)}$

Xem đáp án

Câu 9:

Thực hiện phép tính: $B = \frac{1}{a (a - b) (a - c)} + \frac{1}{b (b - a) (b - c)} + \frac{1}{c (c - a) (c - b)}$

Xem đáp án

Câu 10:

Thực hiện phép tính: $C = \frac{b c}{(a - b) (a - c)} + \frac{a c}{(b - a) (b - c)} + \frac{a b}{(c - a) (c - b)}$

Xem đáp án

Câu 11:

Thực hiện phép tính: $D = \frac{a^{2}}{(a - b) (a - c)} + \frac{b^{2}}{(b - a) (b - c)} + \frac{c^{2}}{(c - a) (c - b)}$

Xem đáp án

Câu 12:

Cho a, b, c là các số nguyên khác nhau đôi một. Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị là một số nguyên $P = \frac{a^{3}}{(a - b) (a - c)} + \frac{b^{3}}{(b - a) (b - c)} + \frac{c^{3}}{(c - a) (c - b)}$

Xem đáp án

Câu 13:

Cho $3 y - x = 6$ . Tính giá trị biểu thức $A = \frac{x}{y - 2} + \frac{2 x - 3 y}{x - 6}$

Xem đáp án

Câu 14:

Tìm x, y, z biết rằng: $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{3} + \frac{z^{2}}{4} = \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{5}$

Xem đáp án

Câu 15:

Tìm x, y biết rằng $x^{2} + y^{2} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} = 4$

Xem đáp án

Câu 16:

Cho biết:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 2 (1) \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = 2 (2)$
Chứng minh rằng $a + b + c = a b c$

Xem đáp án

Câu 17:

Cho $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 0 (1)$ và $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 2 (2)$
Tính giá trị biểu thức $\frac{a^{2}}{x^{2}} + \frac{b^{2}}{y^{2}} + \frac{c^{2}}{z^{2}}$

Xem đáp án

Câu 18:

Cho $(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ và a, b, c khác 0. Chứng minh rằng $\frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} = \frac{3}{a b c}$

Xem đáp án

Câu 19:

Cho $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = \frac{b}{a} + \frac{a}{c} + \frac{c}{b}$ . Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau.

Xem đáp án

Câu 20:

Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là số nguyên: $A = \frac{2 x^{3} - 6 x^{2} + x - 8}{x - 3}$

Xem đáp án

Câu 21:

Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là số nguyên: $B = \frac{x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 1}{x^{2} - 2 x + 1}$

Xem đáp án

Câu 22:

Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là số nguyên: $C = \frac{x^{4} + 3 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x - 2}{x^{2} + 2}$

Xem đáp án

Câu 23:

Rút gọn biểu thức sau với $x = \frac{a}{3 a + 2}$
$A = \frac{x + 3 a}{2 - x} = + \frac{x - 3 a}{2 + x} - \frac{2 a}{4 - x^{2}} + a$

Xem đáp án

Câu 24:

Rút gọn biểu thức: $A = \frac{2}{a - b} + \frac{2}{b - c} + \frac{2}{c - a} + \frac{(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2}}{(a - b) (b - c) (c - a)}$

Xem đáp án

Câu 25:

Cho biết $\frac{a + b - c}{a b} - \frac{b + c - a}{b c} - \frac{c + a - b}{c a} = 0$ . Chứng minh rằng trong ba phân thức ở vế trái, có ít nhất một phân thức bằng 0.

Xem đáp án

Câu 26:

Xác định các số a, b, c sao cho: $\frac{1}{x (x^{2} + 1)} = \frac{a}{x} + \frac{b x + x}{x^{2} + 1}$

Xem đáp án

Câu 27:

Xác định các số a, b, c sao cho: $\frac{1}{x^{2} - 4} = \frac{a}{x - 2} + \frac{b}{x + 2}$

Xem đáp án

Câu 28:

Xác định các số a, b, c sao cho: $\frac{1}{(x + 1)^{2} (x + 2)} = \frac{a}{x + 1} + \frac{b}{(x + 1)^{2}} + \frac{c}{x + 2}$

Xem đáp án

Câu 29:

Rút gọn biểu thức $B = (a b + b c + c a) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) - a b c (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}})$

Xem đáp án

Câu 30:

Cho a, b, c khác nhau đồi một và $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$ . Rút gọn biểu thức: $M = \frac{1}{a^{2} + 2 b c} + \frac{1}{b^{2} + 2 a c} + \frac{1}{c^{2} + 2 a b}$

Xem đáp án

Câu 31:

Cho a, b, c khác nhau đồi một và $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$ . Rút gọn biểu thức: $N = \frac{b c}{a^{2} + 2 b c} + \frac{a c}{b^{2} + 2 a c} + \frac{a b}{c^{2} + 2 a b}$

Xem đáp án

Câu 32:

Cho a, b, c khác nhau đồi một và $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$ . Rút gọn biểu thức: $P = \frac{a^{2}}{a^{2} + 2 b c} + \frac{b^{2}}{b^{2} + 2 a c} + \frac{c^{2}}{c^{2} + 2 a b}$

Xem đáp án

Câu 33:

Cho các số a, b, c khác nhau đôi một và $\frac{a + b}{c} = \frac{b + c}{a} = \frac{c + a}{b}$ . Tính giá trị biểu thức $M = (1 + \frac{a}{b}) (1 + \frac{b}{c}) (1 + \frac{c}{a})$

Xem đáp án

Câu 34:

Cho $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c$ và $a + b + c \neq 0 .$ Tính giá trị của biểu thức: $N = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{{(a + b + c)}^{2}}$

Xem đáp án

Câu 35:

Rút gọn biểu thức $A = (1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) (1 - \frac{1}{4^{2}}) . . . (1 - \frac{1}{n^{2}})$

Xem đáp án

Câu 36:

Rút gọn biểu thức $B = \frac{1^{2}}{2^{2} - 1} . \frac{3^{2}}{4^{2} - 1} . \frac{5^{2}}{6^{2} - 1} . . . \frac{(2 n + 1)^{2}}{(2 n + 2)^{2} - 1}$

Xem đáp án

Câu 37:

Rút gọn biểu thức $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + . . . + \frac{1}{(n - 1) n}$

Xem đáp án

Câu 38:

Rút gọn biểu thức $\frac{1}{2.5} + \frac{1}{5.8} + \frac{1}{8.11} + . . . + \frac{1}{(3 n + 2) (3 n + 5)}$

Xem đáp án

Câu 39:

Rút gọn biểu thức $\frac{1}{1.2.3} + \frac{1}{2.3.4} + \frac{1}{3.4.5} + . . . + \frac{1}{(n - 1) n (n + 1)}$

Xem đáp án

Câu 40:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 1$ , ta luôn có: $\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{6^{2}} + . . . + \frac{1}{{(2 n)}^{2}} < \frac{1}{2}$

Xem đáp án

Câu 41:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 1$ , ta luôn có: $\frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{7^{2}} + . . . + \frac{1}{{(2 n + 1)}^{2}} < \frac{1}{4}$

Xem đáp án

Câu 42:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 2$ , ta luôn có: $A = \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + . . . + \frac{1}{n^{2}} < \frac{2}{3}$

Xem đáp án

Câu 43:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 3$ , ta luôn có: $A = \frac{1}{3^{3}} + \frac{1}{4^{3}} + \frac{1}{5^{3}} + . . . + \frac{1}{n^{3}} < \frac{1}{12}$

Xem đáp án

Câu 44:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 1$ , ta luôn có $A = (1 + \frac{1}{1.3}) (1 + \frac{1}{2.4}) (1 + \frac{1}{3.5}) . . . (1 + \frac{1}{n (n + 2)}) < 2$

Xem đáp án

Câu 45:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 2$ , ta luôn có $B = (1 - \frac{2}{6}) (1 - \frac{2}{12}) (1 - \frac{2}{20}) . . . (1 - \frac{2}{n (n + 1)}) > \frac{1}{3}$

Xem đáp án

Câu 46:

Rút gọn biểu thức $A = \frac{3^{2} - 1}{5^{2} - 1} . \frac{7^{2} - 1}{9^{2} - 1} . \frac{11^{2} - 1}{13^{2} - 1} . . . \frac{43^{2} - 1}{45^{2} - 1}$

Xem đáp án

Câu 47:

Chứng minh rằng $A = \frac{2^{3} + 1}{2^{3} - 1} . \frac{3^{3} + 1}{3^{2} - 1} . \frac{4^{3} + 1}{4^{3} - 1} . . . \frac{9^{3} + 1}{9^{3} - 1} < \frac{3}{2}$

Xem đáp án

Câu 48:

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 2$ , luôn có: $B = \frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} . \frac{3^{3} - 1}{3^{2} + 1} . \frac{4^{3} - 1}{4^{3} + 1} . . . \frac{n^{3} - 1}{n^{3} + 1} > \frac{2}{3}$

Xem đáp án

Câu 49:

Rút gọn biểu thức $P = \frac{(1^{4} + 4) (5^{4} + 4) (9^{4} + 4) . . . (21^{4} + 4)}{(3^{4} + 4) (7^{4} + 4) (11^{4} + 4) . . . (23^{4} + 4)}$

Xem đáp án

Câu 50:

Rút gọn biểu thức $M = \frac{1}{a^{2} - 5 a + 6} + \frac{1}{a^{2} - 7 a + 12} + \frac{1}{a^{2} - 9 a + 20} + \frac{1}{a^{2} - 11 a + 30}$

Xem đáp án

Câu 51:

Rút gọn biểu thức $(\frac{n - 1}{1} + \frac{n - 2}{2} + \frac{n - 3}{3} + . . . + \frac{2}{n - 2} + \frac{1}{n - 1}) : (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + . . . + \frac{1}{n})$

Xem đáp án

Câu 52:

Rút gọn biểu thức $\frac{A}{B} = \frac{\frac{1}{1 . (2 n - 1)} + \frac{1}{3 . (2 n - 3)} + \frac{1}{5 . (2 n - 5)} + . . . + \frac{1}{(2 n - 3) . 3} + \frac{1}{(2 n - 1) . 1}}{1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + . . . + \frac{1}{2 n - 1}}$

Xem đáp án

Câu 53:

Cho abc = 1 và $a + b + c = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ . Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại một số bằng 1

Xem đáp án

Câu 54:

Chứng minh rằng nếu $a + y + z = a$ và $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{a}$ thì tồn tại một trong ba số x, y, z bằng a

Xem đáp án

Câu 55:

Các biểu thức x+y+z và $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$ có thể cùng có giá trị bằng 0 được hay không?

Xem đáp án

Câu 56:

Tính giá trị của biểu thức $M = \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{y + 2} + \frac{1}{z + 2}$ biết rằng $2 a = b y + c z; 2 b = a x + c z;$ $2 c = a x + b y; a + b + c \neq 0$

Xem đáp án

Câu 57:

Cho $a b c = 2$ . Rút gọn biểu thức $M = \frac{a}{a b + a + 2} + \frac{b}{b c + b + 1} + \frac{2 c}{a c + 2 c + 2}$

Xem đáp án

Câu 58:

Cho $a b c = 1$ . Rút gọn biểu thức $N = \frac{a}{a b + a + 2} + \frac{b}{b c + b + 1} + \frac{c}{a c + 2 c + 2}$

Xem đáp án

Câu 59:

Cho $\frac{a}{c} = \frac{a - b}{b - c}, a \neq 0,$ $c \neq 0, a - b \neq 0, b - c \neq 0$ . Chứng minh rằng: $\frac{1}{c} + \frac{1}{a - b} = \frac{1}{b - c} - \frac{1}{a}$

Xem đáp án

Câu 60:

Cho $a + b + c = 0 (a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0)$ . Rút gọn biểu thức $A = \frac{a^{2}}{b c} + \frac{b^{2}}{c a} + \frac{c^{2}}{a b}$

Xem đáp án

Câu 61:

Cho $a + b + c = 0 (a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0)$ . Rút gọn biểu thức $B = \frac{a^{2}}{a^{2} - b^{2} - c^{2}} + \frac{b^{2}}{b^{2} - c^{2} - a^{2}} + \frac{c^{2}}{c^{2} - a^{2} - b^{2}}$

Xem đáp án

Câu 62:

Cho biết $a + b + c = 0$ , hãy tính giá trị của biểu thức $A = (\frac{a - b}{c} + \frac{b - c}{a} + \frac{c - a}{b}) (\frac{c}{a - b} + \frac{a}{b - c} + \frac{b}{c - a})$

Xem đáp án

Câu 63:

Chứng minh rằng nếu $(a^{2} - b c) (b - a b c) = (b^{2} - a c) (a - a b c)$ và các số a, b, c, a – b khác 0 thì $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = a + b + c$

Xem đáp án

Câu 64:

Cho $a + b + c = 0, x + y + z = 0, \frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 0$ . Chứng minh rằng: $a x^{2} + b y^{2} + c z^{2} = 0$

Xem đáp án

Câu 65:

Cho $\frac{x y + 1}{y} = \frac{y z + 1}{z} = \frac{z x + 1}{x}$ . Chứng minh rằng $x = y = z$ hoặc $x^{2} y^{2} z^{2} = 1$

Xem đáp án

Câu 66:

Cho $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} = 1$ . Chứng minh rằng $\frac{a^{2}}{b + c} + \frac{b^{2}}{c + a} + \frac{c^{2}}{a + b} = 0$

Xem đáp án

Câu 67:

Cho $\frac{a}{b - c} + \frac{b}{c - a} + \frac{c}{a - b} = 0$ . Chứng minh rằng $\frac{a}{{(b - c)}^{2}} + \frac{b}{{(c - a)}^{2}} + \frac{c^{2}}{{(a - b)}^{2}} = 0$

Xem đáp án

Câu 68:

Cho $x + \frac{1}{x} = a$ . Tính biểu thức sau theo a: $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$

Xem đáp án

Câu 69:

Cho $x + \frac{1}{x} = a$ . Tính biểu thức sau theo a: $x^{3} + \frac{1}{x^{3}}$

Xem đáp án

Câu 70:

Cho $x + \frac{1}{x} = a$ . Tính biểu thức sau theo a: $x^{4} + \frac{1}{x^{4}}$

Xem đáp án

Câu 71:

Cho $x + \frac{1}{x} = a$ . Tính biểu thức sau theo a: $x^{5} + \frac{1}{x^{5}}$

Xem đáp án

Câu 72:

Cho $(x^{2} - \frac{1}{x^{2}}) : (x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) = a$ . Tính giá trị của biểu thức $M = (x^{4} - \frac{1}{x^{4}}) : (x^{4} + \frac{1}{x^{4}})$ theo a

Xem đáp án

Câu 73:

Cho $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ . Tính giá trị của biểu thức: $A = \frac{x^{4} + x^{2} + 1}{x^{2}}$

Xem đáp án

Câu 74:

Cho $\frac{x}{x^{2} - x + 1} = a$ . Tính $M = \frac{x^{2}}{x^{4} + x^{2} + 1}$ theo a.

Xem đáp án

Câu 75:

Cho $x = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}, y = \frac{a^{2} - (b - c)^{2}}{(b + c)^{2} - a^{2}}$ . Tính giá trị của biểu thức x+y+xy

Xem đáp án

Câu 76:

Tìm hai số tự nhiên a và b sao cho $a - b = \frac{a}{b}$

Xem đáp án

Câu 77:

Tìm hai số tự nhiên a và b sao cho $a - b = \frac{a}{2 b}$

Xem đáp án

Câu 78:

Cho hai số nguyên dương a và b, trong đó a>b. Tìm số nguyên dương c khác b sao cho: c=a-b

Xem đáp án

Câu 79:

Cho dãy số $a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . .$ sao cho: $a_{2} = \frac{a_{1} - 1}{a_{1} + 1}; a_{3} = \frac{a_{2} - 1}{a_{2} + 1}; . . .; a_{n} = \frac{a_{n - 1} - 1}{a_{n - 1} + 1}$
1. Chứng minh rằng $a_{1} = a_{5}$
2. Xác định năm số đầu của dãy, biết rằng $a_{101} = 3$

Xem đáp án

Câu 80:

Tìm phân số $\frac{m}{n}$ khác 0 và số tự nhiên k, biết rằng $\frac{m}{n} = \frac{m + k}{n k}$

Xem đáp án

Câu 81:

Cho hai số tự nhiên a và b (a < b). Tìm tổng các phân số tối giản có mẫu bằng 7, mỗi phân số lớn hơn a nhưng nhỏ hơn b

Xem đáp án

Câu 82:

Mức sản xuất của một xí nghiệp năm 2001 tăng a% so với năm 2000, năm 2002 tăng b% so với năm 2001. Mức sản xuất của xí nghiệp đó năm 2002 tăng bao nhiêu phần trăm so với năm 2000?

Xem đáp án

Câu 83:

Một số a tăng m%, sau đó lại giảm đi n% (a, m, n là các số dương) thì được số b. Tìm liên hệ giữa m và n để b>a

Xem đáp án

Câu 84:

Chứng minh rằng tổng sau không là số nguyên với mọi số tự nhiên $n \geq 2$
$A = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + . . . + \frac{1}{n}$

Xem đáp án

Câu 85:

Chứng minh tổng sau không là số nguyên với mọi số tự nhiên $n \geq 1$
$B = \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} + . . . + \frac{1}{2 n + 1}$

Xem đáp án

5.0

3 Đánh giá

100%

Bài tập các phép tính về phân thức

🔥 Đề thi HOT:

Đề kiểm tra Cuối kì 1 Toán 8 KNTT có đáp án (Đề 1)

10 Bài tập Bài toán thực tiễn gắn với việc vận dụng định lí Thalès (có lời giải)

10 Bài tập Bài toán thực tiễn liên quan đến thể tích, diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều (có lời giải)

10 Bài tập Bài toán thực tiễn gắn với việc vận dụng định lí Thalès (có lời giải)

10 Bài tập Nhận biết hai hình đồng dạng, hai hình đồng dạng phối cảnh (có lời giải)

10 Bài tập Ứng dụng của xác suất thực nghiệm trong một số bài toán đơn giản (có lời giải)

Cách tìm mẫu thức chung cực hay, nhanh nhất

10 Bài tập Các bài toán thực tiễn gắn với việc vận dụng định lí Pythagore (có lời giải)

Đề thi liên quan:

Tổng hợp lí thuyết và bài tập Toán 8 Chương 2: Phân thức đại số

Bài tập Toán 8: Phân thức đại số

Bài tập Toán 8: Tính chất cơ bản của phân thức

Bài tập Toán 8: Rút gọn phân thức

Bài tập Toán 8: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Bài tập Toán 8: Phép cộng các phân thức đại số

Bài tập Toán 8: Phép trừ các phân thức đại số

Bài tập Toán 8: Phép nhân các phân thức đại số

Bài tập Toán 8: Phép chia các phân thức đại số

Bài tập Toán 8: Biến đổi các biểu thức hữu tỷ. Giá trị của phân thức

Danh sách câu hỏi:

Cho a+b+c=0 và a, b, c đều khác 0. Rút gọn biểu thức A=aba2+b2-c2+bcb2+c2-a2+cac2+a2-b2

Rút gọn biểu thức A=11-x+11+x+21+x2+41+x4+81+x8

Rút gọn biểu thức B=3(1.2)2+5(2.3)2+...+2n+1[n(n+1)]2

Xác định các số a, b, c sao cho: 1(x2+1)(x-1)=ax+bx2+1+cx-1(1)

Cho A=1(x+y)31x4-1y4B=2(x+y)41x3-1y3C=2x+y51x2-1y2Thực hiện phép tính A+B+C

Thực hiện các phép tính x+3x+1-2x-1x-1-x-3x2-1

Thực hiện các phép tính 1x(x+y)+ 1y(x+y)+ 1x(x-y) + 1y(y-x)

Thực hiện phép tính: A = 1(a-b)(a-c) + 1(b-a)(b-c) + 1(c-a)(c-b)

Thực hiện phép tính: B = 1a(a-b)(a-c) + 1b(b-a)(b-c) + 1c(c-a)(c-b)

Thực hiện phép tính: C = bc(a-b)(a-c) + ac(b-a)(b-c) + ab(c-a)(c-b)

Thực hiện phép tính: D = a2(a-b)(a-c) + b2(b-a)(b-c) + c2(c-a)(c-b)

Cho a, b, c là các số nguyên khác nhau đôi một. Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị là một số nguyên P=a3a-ba-c+b3b-ab-c+c3c-ac-b

Cho 3y-x=6. Tính giá trị biểu thức A = xy-2 +2x-3yx-6

Tìm x, y, z biết rằng: x22+y23+z24=x2+y2+z25

Tìm x, y biết rằng x2+y2+1x2+1y2=4

Cho biết: 1a+1b+1c=2(1)1a2+1b2+1c2=2(2)Chứng minh rằng a+b+c=abc

Cho xa+yb+zc=0 1 và ax+by+cz=2 2Tính giá trị biểu thức a2x2+b2y2+c2z2

Cho (a+b+c)2=a2+b2+c2 và a, b, c khác 0. Chứng minh rằng 1a3+1b3+1c3=3abc

Cho ab+bc+ca=ba+ac+cb. Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau.

Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là số nguyên: A=2x3-6x2+x-8x-3

Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là số nguyên: B=x4-2x3-3x2+8x-1x2-2x+1

Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là số nguyên: C=x4+3x3+2x2+6x-2x2+2

Rút gọn biểu thức sau với x = a3a+2A=x+3a2-x=+x-3a2+x-2a4-x2+a

Rút gọn biểu thức: A=2a-b+2b-c+2c-a+(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2(a-b)(b-c)(c-a)

Cho biết a+b-cab - b+c-abc - c+a-b ca= 0. Chứng minh rằng trong ba phân thức ở vế trái, có ít nhất một phân thức bằng 0.

Xác định các số a, b, c sao cho: 1x(x2+1)=ax+bx+xx2+1

Xác định các số a, b, c sao cho: 1x2-4=ax-2+bx+2

Xác định các số a, b, c sao cho: 1(x+1)2(x+2)=ax+1+b(x+1)2+cx+2

Rút gọn biểu thức B = (ab+bc+ca)1a+1b+1c-abc1a2+1b2+1c2

Cho a, b, c khác nhau đồi một và 1a+1b+1c=0. Rút gọn biểu thức: M=1a2+2bc+1b2+2ac+1c2+2ab

Cho a, b, c khác nhau đồi một và 1a+1b+1c=0. Rút gọn biểu thức: N=bca2+2bc+acb2+2ac+abc2+2ab

Cho a, b, c khác nhau đồi một và 1a+1b+1c=0. Rút gọn biểu thức: P=a2a2+2bc+b2b2+2ac+c2c2+2ab

Cho các số a, b, c khác nhau đôi một và a+bc = b+ca = c+ab. Tính giá trị biểu thức M=1+ab1+bc1+ca

Cho a3+b3+c3=3abc và a+b+c≠0. Tính giá trị của biểu thức: N=a2+b2+c2a+b+c2

Rút gọn biểu thức A=1-1221-1321-142...1-1n2

Rút gọn biểu thức B=1222-1.3242-1.5262-1...(2n+1)2(2n+2)2-1

Rút gọn biểu thức 11.2 +12.3 +13.4 +...+ 1(n-1)n

Rút gọn biểu thức 12.5 +15.8 +18.11 +...+ 1(3n+2)(3n+5)

Rút gọn biểu thức 11.2.3 +12.3.4 +13.4.5 +...+ 1(n-1)n(n+1)

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥1, ta luôn có: 122+142+162+...+12n2<12

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥1, ta luôn có: 132+152+172+...+12n+12<14

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥2, ta luôn có: A=122+132+142+...+1n2<23

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥3, ta luôn có: A=133+143+153+...+1n3<112

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥1, ta luôn có A= 1+11.31+12.41+13.5...1+1nn+2<2

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥2, ta luôn có B= 1-261-2121-220...1-2nn+1>13

Rút gọn biểu thức A=32-152-1.72-192-1.112-1132-1...432-1452-1

Chứng minh rằng A=23+123-1.33+132-1.43+143-1...93+193-1<32

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥2, luôn có: B=23-123+1.33-132+1.43-143+1...n3-1n3+1>23

Rút gọn biểu thức P=(14+4)(54+4)(94+4)...(214+4)(34+4)(74+4)(114+4)...(234+4)

Rút gọn biểu thức M=1a2-5a+6+1a2-7a+12+1a2-9a+20+1a2-11a+30

Rút gọn biểu thức n-11 +n-2 2+n-3 3+...+2n-2 +1n-1:12+13+14+...+1n

Rút gọn biểu thức AB= 11.(2n-1) + 13.(2n-3) + 15.(2n-5)+...+ 1(2n-3).3+1(2n-1).11+13+15+...+12n-1

Cho abc = 1 và a+b+c=1a+1b+1c. Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại một số bằng 1

Chứng minh rằng nếu a+y+z=a và 1x+1y+1z=1a thì tồn tại một trong ba số x, y, z bằng a

Các biểu thức x+y+z và 1x+1y+1z có thể cùng có giá trị bằng 0 được hay không?

Tính giá trị của biểu thức M = 1x+2 + 1y+2 + 1z+2 biết rằng 2a=by+cz; 2b=ax+cz; 2c=ax+by; a+b+c≠0

Cho abc=2. Rút gọn biểu thức M = aab+a+2 +bbc+b+1 +2cac+2c+2

Cho abc=1. Rút gọn biểu thức N = aab+a+2 +bbc+b+1 +cac+2c+2

Cho a+b+c=0 và a, b, c đều khác 0. Rút gọn biểu thức $A = \frac{a b}{a^{2} + b^{2} - c^{2}} + \frac{b c}{b^{2} + c^{2} - a^{2}} + \frac{c a}{c^{2} + a^{2} - b^{2}}$

Rút gọn biểu thức $A = \frac{1}{1 - x} + \frac{1}{1 + x} + \frac{2}{1 + x^{2}} + \frac{4}{1 + x^{4}} + \frac{8}{1 + x^{8}}$

Rút gọn biểu thức $B = \frac{3}{(1.2)^{2}} + \frac{5}{(2.3)^{2}} + . . . + \frac{2 n + 1}{[n (n + 1)]^{2}}$

Xác định các số a, b, c sao cho: $\frac{1}{(x^{2} + 1) (x - 1)} = \frac{a x + b}{x^{2} + 1} + \frac{c}{x - 1} (1)$

Cho $A = \frac{1}{(x + y)^{3}} (\frac{1}{x^{4}} - \frac{1}{y^{4}})$
$B = \frac{2}{(x + y)^{4}} (\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{y^{3}})$
$C = \frac{2}{{(x + y)}^{5}} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{y^{2}})$
Thực hiện phép tính A+B+C

Thực hiện các phép tính $\frac{x + 3}{x + 1} - \frac{2 x - 1}{x - 1} - \frac{x - 3}{x^{2} - 1}$

Thực hiện các phép tính $\frac{1}{x (x + y)} + \frac{1}{y (x + y)} + \frac{1}{x (x - y)} + \frac{1}{y (y - x)}$

Thực hiện phép tính: $A = \frac{1}{(a - b) (a - c)} + \frac{1}{(b - a) (b - c)} + \frac{1}{(c - a) (c - b)}$

Thực hiện phép tính: $B = \frac{1}{a (a - b) (a - c)} + \frac{1}{b (b - a) (b - c)} + \frac{1}{c (c - a) (c - b)}$

Thực hiện phép tính: $C = \frac{b c}{(a - b) (a - c)} + \frac{a c}{(b - a) (b - c)} + \frac{a b}{(c - a) (c - b)}$

Thực hiện phép tính: $D = \frac{a^{2}}{(a - b) (a - c)} + \frac{b^{2}}{(b - a) (b - c)} + \frac{c^{2}}{(c - a) (c - b)}$

Cho a, b, c là các số nguyên khác nhau đôi một. Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị là một số nguyên $P = \frac{a^{3}}{(a - b) (a - c)} + \frac{b^{3}}{(b - a) (b - c)} + \frac{c^{3}}{(c - a) (c - b)}$

Cho $3 y - x = 6$ . Tính giá trị biểu thức $A = \frac{x}{y - 2} + \frac{2 x - 3 y}{x - 6}$

Tìm x, y, z biết rằng: $\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{3} + \frac{z^{2}}{4} = \frac{x^{2} + y^{2} + z^{2}}{5}$

Tìm x, y biết rằng $x^{2} + y^{2} + \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}} = 4$

Cho biết:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 2 (1) \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = 2 (2)$
Chứng minh rằng $a + b + c = a b c$

Cho $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 0 (1)$ và $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 2 (2)$
Tính giá trị biểu thức $\frac{a^{2}}{x^{2}} + \frac{b^{2}}{y^{2}} + \frac{c^{2}}{z^{2}}$

Cho $(a + b + c)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ và a, b, c khác 0. Chứng minh rằng $\frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + \frac{1}{c^{3}} = \frac{3}{a b c}$

Cho $\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = \frac{b}{a} + \frac{a}{c} + \frac{c}{b}$ . Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau.

Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là số nguyên: $A = \frac{2 x^{3} - 6 x^{2} + x - 8}{x - 3}$

Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là số nguyên: $B = \frac{x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 8 x - 1}{x^{2} - 2 x + 1}$

Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là số nguyên: $C = \frac{x^{4} + 3 x^{3} + 2 x^{2} + 6 x - 2}{x^{2} + 2}$

Rút gọn biểu thức sau với $x = \frac{a}{3 a + 2}$
$A = \frac{x + 3 a}{2 - x} = + \frac{x - 3 a}{2 + x} - \frac{2 a}{4 - x^{2}} + a$

Rút gọn biểu thức: $A = \frac{2}{a - b} + \frac{2}{b - c} + \frac{2}{c - a} + \frac{(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2}}{(a - b) (b - c) (c - a)}$

Cho biết $\frac{a + b - c}{a b} - \frac{b + c - a}{b c} - \frac{c + a - b}{c a} = 0$ . Chứng minh rằng trong ba phân thức ở vế trái, có ít nhất một phân thức bằng 0.

Xác định các số a, b, c sao cho: $\frac{1}{x (x^{2} + 1)} = \frac{a}{x} + \frac{b x + x}{x^{2} + 1}$

Xác định các số a, b, c sao cho: $\frac{1}{x^{2} - 4} = \frac{a}{x - 2} + \frac{b}{x + 2}$

Xác định các số a, b, c sao cho: $\frac{1}{(x + 1)^{2} (x + 2)} = \frac{a}{x + 1} + \frac{b}{(x + 1)^{2}} + \frac{c}{x + 2}$

Rút gọn biểu thức $B = (a b + b c + c a) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}) - a b c (\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}})$

Cho a, b, c khác nhau đồi một và $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$ . Rút gọn biểu thức: $M = \frac{1}{a^{2} + 2 b c} + \frac{1}{b^{2} + 2 a c} + \frac{1}{c^{2} + 2 a b}$

Cho a, b, c khác nhau đồi một và $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$ . Rút gọn biểu thức: $N = \frac{b c}{a^{2} + 2 b c} + \frac{a c}{b^{2} + 2 a c} + \frac{a b}{c^{2} + 2 a b}$

Cho a, b, c khác nhau đồi một và $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$ . Rút gọn biểu thức: $P = \frac{a^{2}}{a^{2} + 2 b c} + \frac{b^{2}}{b^{2} + 2 a c} + \frac{c^{2}}{c^{2} + 2 a b}$

Cho các số a, b, c khác nhau đôi một và $\frac{a + b}{c} = \frac{b + c}{a} = \frac{c + a}{b}$ . Tính giá trị biểu thức $M = (1 + \frac{a}{b}) (1 + \frac{b}{c}) (1 + \frac{c}{a})$

Cho $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c$ và $a + b + c \neq 0 .$ Tính giá trị của biểu thức: $N = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{{(a + b + c)}^{2}}$

Rút gọn biểu thức $A = (1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) (1 - \frac{1}{4^{2}}) . . . (1 - \frac{1}{n^{2}})$

Rút gọn biểu thức $B = \frac{1^{2}}{2^{2} - 1} . \frac{3^{2}}{4^{2} - 1} . \frac{5^{2}}{6^{2} - 1} . . . \frac{(2 n + 1)^{2}}{(2 n + 2)^{2} - 1}$

Rút gọn biểu thức $\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} + \frac{1}{3.4} + . . . + \frac{1}{(n - 1) n}$

Rút gọn biểu thức $\frac{1}{2.5} + \frac{1}{5.8} + \frac{1}{8.11} + . . . + \frac{1}{(3 n + 2) (3 n + 5)}$

Rút gọn biểu thức $\frac{1}{1.2.3} + \frac{1}{2.3.4} + \frac{1}{3.4.5} + . . . + \frac{1}{(n - 1) n (n + 1)}$

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 1$ , ta luôn có: $\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{6^{2}} + . . . + \frac{1}{{(2 n)}^{2}} < \frac{1}{2}$

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 1$ , ta luôn có: $\frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{7^{2}} + . . . + \frac{1}{{(2 n + 1)}^{2}} < \frac{1}{4}$

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 2$ , ta luôn có: $A = \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + . . . + \frac{1}{n^{2}} < \frac{2}{3}$

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 3$ , ta luôn có: $A = \frac{1}{3^{3}} + \frac{1}{4^{3}} + \frac{1}{5^{3}} + . . . + \frac{1}{n^{3}} < \frac{1}{12}$

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 1$ , ta luôn có $A = (1 + \frac{1}{1.3}) (1 + \frac{1}{2.4}) (1 + \frac{1}{3.5}) . . . (1 + \frac{1}{n (n + 2)}) < 2$

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 2$ , ta luôn có $B = (1 - \frac{2}{6}) (1 - \frac{2}{12}) (1 - \frac{2}{20}) . . . (1 - \frac{2}{n (n + 1)}) > \frac{1}{3}$

Rút gọn biểu thức $A = \frac{3^{2} - 1}{5^{2} - 1} . \frac{7^{2} - 1}{9^{2} - 1} . \frac{11^{2} - 1}{13^{2} - 1} . . . \frac{43^{2} - 1}{45^{2} - 1}$

Chứng minh rằng $A = \frac{2^{3} + 1}{2^{3} - 1} . \frac{3^{3} + 1}{3^{2} - 1} . \frac{4^{3} + 1}{4^{3} - 1} . . . \frac{9^{3} + 1}{9^{3} - 1} < \frac{3}{2}$

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n \geq 2$ , luôn có: $B = \frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} . \frac{3^{3} - 1}{3^{2} + 1} . \frac{4^{3} - 1}{4^{3} + 1} . . . \frac{n^{3} - 1}{n^{3} + 1} > \frac{2}{3}$

Rút gọn biểu thức $P = \frac{(1^{4} + 4) (5^{4} + 4) (9^{4} + 4) . . . (21^{4} + 4)}{(3^{4} + 4) (7^{4} + 4) (11^{4} + 4) . . . (23^{4} + 4)}$

Rút gọn biểu thức $M = \frac{1}{a^{2} - 5 a + 6} + \frac{1}{a^{2} - 7 a + 12} + \frac{1}{a^{2} - 9 a + 20} + \frac{1}{a^{2} - 11 a + 30}$

Rút gọn biểu thức $(\frac{n - 1}{1} + \frac{n - 2}{2} + \frac{n - 3}{3} + . . . + \frac{2}{n - 2} + \frac{1}{n - 1}) : (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + . . . + \frac{1}{n})$

Rút gọn biểu thức $\frac{A}{B} = \frac{\frac{1}{1 . (2 n - 1)} + \frac{1}{3 . (2 n - 3)} + \frac{1}{5 . (2 n - 5)} + . . . + \frac{1}{(2 n - 3) . 3} + \frac{1}{(2 n - 1) . 1}}{1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + . . . + \frac{1}{2 n - 1}}$

Cho abc = 1 và $a + b + c = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ . Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại một số bằng 1

Chứng minh rằng nếu $a + y + z = a$ và $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{a}$ thì tồn tại một trong ba số x, y, z bằng a

Các biểu thức x+y+z và $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$ có thể cùng có giá trị bằng 0 được hay không?

Tính giá trị của biểu thức $M = \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{y + 2} + \frac{1}{z + 2}$ biết rằng $2 a = b y + c z; 2 b = a x + c z;$ $2 c = a x + b y; a + b + c \neq 0$

Cho $a b c = 2$ . Rút gọn biểu thức $M = \frac{a}{a b + a + 2} + \frac{b}{b c + b + 1} + \frac{2 c}{a c + 2 c + 2}$

Cho $a b c = 1$ . Rút gọn biểu thức $N = \frac{a}{a b + a + 2} + \frac{b}{b c + b + 1} + \frac{c}{a c + 2 c + 2}$

Cho $\frac{a}{c} = \frac{a - b}{b - c}, a \neq 0,$ $c \neq 0, a - b \neq 0, b - c \neq 0$ . Chứng minh rằng: $\frac{1}{c} + \frac{1}{a - b} = \frac{1}{b - c} - \frac{1}{a}$

Cho $a + b + c = 0 (a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0)$ . Rút gọn biểu thức $A = \frac{a^{2}}{b c} + \frac{b^{2}}{c a} + \frac{c^{2}}{a b}$

Cho $a + b + c = 0 (a \neq 0, b \neq 0, c \neq 0)$ . Rút gọn biểu thức $B = \frac{a^{2}}{a^{2} - b^{2} - c^{2}} + \frac{b^{2}}{b^{2} - c^{2} - a^{2}} + \frac{c^{2}}{c^{2} - a^{2} - b^{2}}$

Cho biết $a + b + c = 0$ , hãy tính giá trị của biểu thức $A = (\frac{a - b}{c} + \frac{b - c}{a} + \frac{c - a}{b}) (\frac{c}{a - b} + \frac{a}{b - c} + \frac{b}{c - a})$

Chứng minh rằng nếu $(a^{2} - b c) (b - a b c) = (b^{2} - a c) (a - a b c)$ và các số a, b, c, a – b khác 0 thì $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = a + b + c$

Cho $a + b + c = 0, x + y + z = 0, \frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 0$ . Chứng minh rằng: $a x^{2} + b y^{2} + c z^{2} = 0$

Cho $\frac{x y + 1}{y} = \frac{y z + 1}{z} = \frac{z x + 1}{x}$ . Chứng minh rằng $x = y = z$ hoặc $x^{2} y^{2} z^{2} = 1$

Cho $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} = 1$ . Chứng minh rằng $\frac{a^{2}}{b + c} + \frac{b^{2}}{c + a} + \frac{c^{2}}{a + b} = 0$

Cho $\frac{a}{b - c} + \frac{b}{c - a} + \frac{c}{a - b} = 0$ . Chứng minh rằng $\frac{a}{{(b - c)}^{2}} + \frac{b}{{(c - a)}^{2}} + \frac{c^{2}}{{(a - b)}^{2}} = 0$

Cho $x + \frac{1}{x} = a$ . Tính biểu thức sau theo a: $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$

Cho $x + \frac{1}{x} = a$ . Tính biểu thức sau theo a: $x^{3} + \frac{1}{x^{3}}$

Cho $x + \frac{1}{x} = a$ . Tính biểu thức sau theo a: $x^{4} + \frac{1}{x^{4}}$

Cho $x + \frac{1}{x} = a$ . Tính biểu thức sau theo a: $x^{5} + \frac{1}{x^{5}}$

Cho $(x^{2} - \frac{1}{x^{2}}) : (x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) = a$ . Tính giá trị của biểu thức $M = (x^{4} - \frac{1}{x^{4}}) : (x^{4} + \frac{1}{x^{4}})$ theo a

Cho $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ . Tính giá trị của biểu thức: $A = \frac{x^{4} + x^{2} + 1}{x^{2}}$

Cho $\frac{x}{x^{2} - x + 1} = a$ . Tính $M = \frac{x^{2}}{x^{4} + x^{2} + 1}$ theo a.

Cho $x = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}, y = \frac{a^{2} - (b - c)^{2}}{(b + c)^{2} - a^{2}}$ . Tính giá trị của biểu thức x+y+xy

Tìm hai số tự nhiên a và b sao cho $a - b = \frac{a}{b}$

Tìm hai số tự nhiên a và b sao cho $a - b = \frac{a}{2 b}$

Cho dãy số $a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . .$ sao cho: $a_{2} = \frac{a_{1} - 1}{a_{1} + 1}; a_{3} = \frac{a_{2} - 1}{a_{2} + 1}; . . .; a_{n} = \frac{a_{n - 1} - 1}{a_{n - 1} + 1}$
1. Chứng minh rằng $a_{1} = a_{5}$
2. Xác định năm số đầu của dãy, biết rằng $a_{101} = 3$

Tìm phân số $\frac{m}{n}$ khác 0 và số tự nhiên k, biết rằng $\frac{m}{n} = \frac{m + k}{n k}$

Chứng minh rằng tổng sau không là số nguyên với mọi số tự nhiên $n \geq 2$
$A = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + . . . + \frac{1}{n}$