Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 12 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Bài 1. Vectơ và các phép toán trong không gian

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, chọn đúng hoặc sai.

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = 2;AD = 3;A'A = 4\).

a) Vectơ \(\overrightarrow {BA'} \) bằng vectơ \(\overrightarrow {CD'} \).

b) \(\left| {\overrightarrow {BA'} } \right| = \left| {\overrightarrow {A'D} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right|\).

c) Số các vectơ khác \(\overrightarrow 0 \) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp là \(A_8^2\).

d) Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {BD'} \) bằng \(3\sqrt 3 \).

Cho hình chóp \(A.BCD\). Gọi \(G\) là trọng tâm \(\Delta BCD\).

a) \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow {GA} \).

b) \(\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} = \overrightarrow {AB} \).

c) \(\left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GB} } \right) = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} \).

d) \(3\overrightarrow {AG} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} \).

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\)có \(AB = 1;AD = 2;AA' = 3\). Gọi M là một điểm trên đoạn \(CC'\)sao cho \(CM = 2MC'\).

a) \(\overrightarrow {AA'} = \frac{3}{2}\overrightarrow {CM} \).

b) \(\cos \left( {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \frac{2}{3}\).

c) \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AA'} \).

d) \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {B'D} = 0\).

Một chiếc đèn chùm treo có khối lượng \(m = 5\;kg\) được thiết kế với đĩa đèn được giữ bởi bốn đoạn xích \(SA,SB,SC,SD\) (tham khảo hình vẽ) sao cho \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều có \(\widehat {ASC} = 60^\circ \). Biết \(\vec P = m.\vec g\) trong đó \(\vec g\) là vectơ gia tốc rơi tự do có độ lớn \[10\;\,{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}\], \(\vec P\) là trọng lực tác động vật có đơn vị là \(N\), \(m\) là khối lượng của vật có đơn vị \(kg\). Khi đó:

a) \(\overrightarrow {SA} ,\overrightarrow {SB} ,\overrightarrow {SC} ,\overrightarrow {SD} \) là 4 vectơ đồng phẳng.

b) \(\left| {\overrightarrow {SA} } \right| = \left| {\overrightarrow {SB} } \right| = \left| {\overrightarrow {SC} } \right| = \left| {\overrightarrow {SD} } \right|\).

c) Độ lớn của trọng lực \(\vec P\) tác động lên chiếc đèn chùm bằng \(50\;N\).

d) Độ lớn của lực căng cho mỗi sợi xích bằng \(\frac{{25\sqrt 3 }}{2}\;N\).

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có O là tâm của đáy ABCD, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.

a) Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {CB} \) là 0°.

b) Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {BD} \) và \(\overrightarrow {BO} \) là 180°.

c) Cosin của góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {CS} \) bằng \(\frac{1}{4}\).

d) Góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AO} \) và \(\overrightarrow {SD} \) bằng 60°.

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với mặt đáy. Biết AB = SA = 2. Gọi M là trung điểm BC. Tính \(\left| {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {AM} } \right|\).

Một vật có khối lượng m (kg) thì lực hấp dẫn \(\overrightarrow P \) của Trái Đất tác dụng lên vật được xác định theo công thức \(\overrightarrow P = m.\overrightarrow g \), trong đó \(\overrightarrow g \) là gia tốc rơi tự do có độ lớn \(g = 9,8\) m/s². Tính khối lượng của vật khi chịu tác dụng của lực hấp dẫn của Trái Đất là P = 4,9 N.

Cho ba lực \(\overrightarrow {{F_1}} = \overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {MC} \) cùng tác động vào một ô tô tại điểm M và ô tô đứng yên. Cho biết cường độ hai lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) đều bằng 25N và \(\widehat {AMB} = 60^\circ \). Tính cường độ lực \(\overrightarrow {{F_3}} \)(kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

B. TỰ LUẬN

Tìm các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số sau:

a) \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 4\);                                            b) \(y = {x^4} + 4{x^3} - 1\).

Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau

a) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\);                                       b) \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 2}}{{x + 1}}\).

Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau

a) \(y = {x^2} + 4\ln \left( {3 - x} \right)\);                                                                                b) \(y = \sqrt {{x^2} - 2x} \).

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của hàm số sau trên đoạn đã chỉ ra.

a) \(f\left( x \right) = - {x^3} + 3{x^2} + 10\) trên đoạn \(\left[ { - 3;1} \right]\).

b) \(f\left( x \right) = - 2{x^4} + 4{x^2} + 3\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\).

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của hàm số sau trên đoạn đã chỉ ra.

a) \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 3}}{{x + 1}}\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\);                                                                               

b) \(f\left( x \right) = \frac{{2{x^2} + 4x + 5}}{{{x^2} + 1}}\) trên \(\mathbb{R}\).

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của hàm số sau trên đoạn đã chỉ ra.

a) \(y = {e^{{x^3} - 3x + 3}}\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\);                                                                                               

b) \(y = \frac{{{{\ln }^2}x}}{x}\) trên đoạn \(\left[ {1;{e^5}} \right]\).

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ.

Biết \(f\left( 0 \right) + f\left( 1 \right) - 2f\left( 2 \right) = f\left( 4 \right) - f\left( 3 \right)\). Tìm giá trị lớn nhất M, giá trị nhỏ nhất m của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\).

Xác định tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số sau

a) \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\);                                        b) \(y = \frac{{{x^2} - 5x + 4}}{{{x^2} - 1}}\).

Xác định tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau

a) \(y = \frac{{{x^2} + 2}}{{2x - 4}}\);                                                                                      b) \(y = \frac{{2{x^2} + 9x + 11}}{{2x + 5}}\).

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 1\);                                                b) \(y = {x^3} + 3{x^2} + 3x + 2\).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có bảng biến thiên như hình bên.

Xác định hàm số trên.

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau

a) \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\);                                                                               b) \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\).

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}\);                                                                 b) \(y = - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}\).

Khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao (mét) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất 2 m với vận tốc ban đầu 24,5 m/s là \(h\left( t \right) = 2 + 24,5t - 4,9{t^2}\) (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).

a) Tìm vận tốc của vật sau 2 giây.

b) Khi nào vật đạt độ cao lớn nhất và độ cao lớn nhất đó là bao nhiêu?

c) Khi nào thì vật chạm đất và vận tốc của vật lúc chạm đất là bao nhiêu?

Một doanh nghiệp bán xe gắn máy trong đó có loại xe A bán ế nhất với giá mua vào mỗi chiếc xe là 26 triệu VNĐ và bán ra 30 triệu VNĐ, với giá bán này thì số lượng bán một năm là 600 chiếc. Cửa hàng cần đẩy mạnh việc bán được loại xe này nên đã đưa ra chiến lược kinh doanh giảm giá bán và theo tính toán của CEO nếu giảm 1 triệu VNĐ mỗi chiếc thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm 200 chiếc. Hỏi cửa hàng định giá bán loại xe đó bao nhiêu thì doanh thu loại xe đó của cửa hàng đạt lớn nhất.

Có hai xã \(A,\,B\) cùng ở một bên bờ sông. Khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là \(AA' = 550\)m, \(BB' = 600\)m. Người ta đo được \(A'B' = 2200\)m như hình vẽ dưới đây. Các kỹ sư muốn xây dựng một trạm cung cấp nước sạch nằm cạnh bên bờ sông cho người dân của hai xã sử dụng. Để tiết kiệm chi phí, các kỹ sư phải chọn một vị trí \(M\) của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn \(A'B'\) sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí \(M\) là nhỏ nhất. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó.

Trong một bài thực hành huấn luyện quân sự có một tình huống chiến sĩ phải bơi qua sông để tấn công mục tiêu ở ngay phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một phần ba vận tốc chạy trên bộ. Hãy cho biết chiến sỹ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất? Biết dòng sông là thẳng, mục tiêu cách chiến sỹ 1km theo đường chim bay và chiến sỹ cách bờ bên kia 100m.

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \).

Cho tứ diện ABCD có AC và BD cùng vuông góc với AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB, CD. Chứng minh \(IJ \bot AB\).

Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\] có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của \(A'D'\) và \(C'D'\). Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {C'B} \).