Đề cương ôn tập giữa kì 1 Toán 12 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án - Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị một số hàm số cơ bản

Từ đồ thị ta thấy

Đây là đồ thị hàm số bậc ba nên loại đáp án \[y = {\rm{ }}{x^4} - 2{x^2}\].

Hàm số bậc ba có hệ số của \[{x^3}\] là \[a > 0\] nên loại đáp án \[y = - {x^{\rm{3}}} + 3x\].

Đồ thị hàm số đi qua điểm\[O\left( {0;0} \right)\]nên loại đáp án \[y = {x^{\rm{3}}} - 3x - 1\]. Chọn D.

Từ đồ thị đã cho, ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 2\) và tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 1\) nên loại ngay 2 hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\) và \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\).

Mặt khác đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {0;\;1} \right)\) nên ta có hàm số cần tìm là \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\). Chọn B.

Dựa vào bảng biến thiên, ta có \(x = - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số; \(y = 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Do đó loại đáp án C, D.

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\)

Xét đáp án A có \[y' = \frac{5}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0\,\,\forall x \ne - 1\]. Chọn A.

Vì hàm số bậc ba có \(a = 1 > 0\) nên loại hình 3, hình 4.

Đồ thị hàm số cắt \(Oy\) tại \(A\left( {0\,;\,2} \right)\)nên loại hình 2. Chọn A.

Từ hình dáng của đồ thị ta có: \(a < 0\).

Đồ thị cắt trục \(Oy\)tại điểm \(\left( {0;d} \right)\) ở phía trên trục \(Ox \Rightarrow d > 0\).

Vì hàm số có một điểm cực trị bằng \(0\), một điểm cực trị dương nên phương trình \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\)thỏa mãn: \({x_1} = 0,\,{x_2} > 0\) \[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 0\\{x_1} + {x_2} > 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\ - \frac{{2b}}{{3a}} > 0\left( {a < 0} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0\\b > 0\\a < 0\end{array} \right.\]. Chọn D.

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là \(y = \frac{1}{c}\) nằm phía trên trục \[Ox\] nên \(\frac{1}{c} > 0 \Rightarrow c > 0\).

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là \(x = \frac{{ - d}}{c}\) nằm bên trái trục \[Oy\] nên \(\frac{{ - d}}{c} < 0 \Rightarrow d > 0\).

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm \(\left( { - b;0} \right)\) nằm bên phải trục \[Oy\] nên \( - b > 0 \Rightarrow b < 0\). Chọn A.

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy \(x = 0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ; \(y = x\) là tiệm cận xiên. Chọn A.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

Tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 2\).

Đạo hàm \(y' > 0\) với mọi \(x \ne 2\)

+) Xét đáp án A: Có \(y' = \frac{{2x\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 3} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).

+) Xét đáp án B: Có \(y' = \frac{{\left( {2x - 4} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 4x + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 6}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2} + 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne 2\).

+) Xét đáp án C: Có \(y' = \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - x} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \)\( = \frac{{{x^2} - 4x + 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).

+) Xét đáp án D: Có \(y' = \frac{{\left( {2x - 4} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} - 4x + 5} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\). Chọn B.