Giải SBT Toán 7 Bài 28. Phép chia đa thức một biến có đáp án

Đa thức đã cho chia hết cho xⁿ nếu từng hạng tử của nó chia hết cho xⁿ, nói riêng là 3,7x² chia hết cho xⁿ. Điều này xảy ra khi n ≤ 2.

Mà n là số tự nhiên nên n $\in$ {0; 1; 2}.

Vậy n $\in$ {0; 1; 2} thỏa mãn yêu cầu bài toán.

a) (−4x⁵ + 3x³ − 2x²) : (−2x²)

= (−4x⁵) : (−2x²) + (3x³) : (−2x²)+ (−2x²) : (−2x²)

= 2x³ − 1,5x + 1

b) (0,5x³ − 1,5x² + x) : 0,5x

= 0,5x³ : 0,5x + (−1,5x²) : 0,5x + x : 0,5x

= x² − 3x + 2

c) (x³ + 2x² − 3x + 1) : $\frac{1}{3}$x²

Ta có thể viết : x³ + 2x² − 3x + 1 = (3x + 6)$\frac{1}{3}$x² + (−3x + 1)

Do đa thức – 3x + 1 có bậc là 1, nhỏ hơn bậc 2 của đa thức chia nên đẳng thức này chứng tỏ 3x + 6 là thương và – 3x + 1 là dư trong phép chia đã cho.

a) (x³ − 4x² − x + 12) : (x − 3)

$\begin{array}{cccccccc}& x^3& -& 4x^2& -& x& +& 12\\ \overline{}& x^3& -& 3x^2& & & & \\ & & & -x^2& -& x& +& 12\\ & & \overline{}& -x^2& +& 3x& & \\ & & & & & -4x& +& 12\\ & & & & \overline{}& -4x& +& 12\\ & & & & & & & 0\end{array}\begin{array}{ccccc}x& -& 3& & \\ x^2& -& x& -& 4\\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{array}$

Vậy kết quả của phép chia (x³ − 4x² − x + 12) : (x − 3) bằng x² − x − 4.

b) (2x⁴ − 3x³ + 3x² + 6x − 14) : (x² − 2)

$\begin{array}{cccccccccc}& 2x^4& -& 3x^3& +& 3x^2& +& 6x& -& 14\\ \overline{}& 2x^4& & & -& 4x^2& & & & \\ & & -& 3x^3& +& 7x^2& +& 6x& -& 14\\ & \overline{}& -& 3x^3& & & +& 6x& & \\ & & & & & 7x^2& & & -& 14\\ & & & & \overline{}& 7x^2& & & -& 14\\ & & & & & & & & & 0\end{array}\begin{array}{ccccc}{x}^2& -& 2& & \\ 2x^2& -& 3x& +& 7\\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{array}$

Vậy kết quả phép chia (2x⁴ − 3x³ + 3x² + 6x − 14) : (x² − 2) bằng 2x² −3x + 7

a) Quỳnh sai. Vì bậc của đa thức dư, nếu khác 0, phải nhỏ hơn bậc của đa thức chia.

b) (6x³ − 7x² − x + 2) : (2x + 1)

$\begin{array}{cccccccc}& 6x^3& -& 7x^2& -& x& +& 2\\ \overline{}& 6x^3& +& 3x^2& & & & \\ & & & -10x^2& -& x& +& 2\\ & & \overline{}& -10x^2& -& 5x& & \\ & & & & & 4x& +& 2\\ & & & & \overline{}& 4x& +& 2\\ & & & & & & & 0\end{array}\begin{array}{ccccc}2x& +& 1& & \\ 3x^2& -& 5x& +& 2\\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{array}$

Vậy thương của phép chia (6x³ − 7x² − x + 2) : (2x + 1) bằng 3x² − 5x + 2 dư 0.

Thực hiện phép chia (3x⁴ + x³ + 6x −5) : (x² + 1)

$\begin{array}{cccccccccc}& 3x^4& +& x^3& & & +& 6x& -& 5\\ \overline{}& 3x^4& & & +& 3x^2& & & & \\ & & & x^3& -& 3x^2& +& 6x& -& 5\\ & & \overline{}& x^3& & & +& x& & \\ & & & & & -3x^2& +& 5x& -& 5\\ & & & & \overline{}& -3x^2& & & -& 3\\ & & & & & & & 5x& -& 2\end{array}\begin{array}{ccccc}{x}^2& +& 1& & \\ 3x^2& +& x& -& 3\\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{array}$

$\Rightarrow$Vậy phép chia (3x⁴ + x³ + 6x −5) : (x² + 1) có thương Q = 3x² + x − 3 và dư R = 5x − 2

Kiểm nghiệm BQ + R = (x² + 1)(3x² + x − 3) + 5x − 2

= x²( 3x² + x − 3) + 1. (3x² + x − 3) + 5x − 2

= 3x⁴ + x³ − 3x² + 3x² + x − 3 + 5x − 2

= 3x⁴ + x³ + (−3x² + 3x²) + (x + 5x) + (−3 − 2)

= 3x⁴ + x³ + 6x −5 = A

Vậy A = BQ + R là một đẳng thức đúng.

a) (2x⁴ + x³ − 3x² + 5x − 2) : (x² − x + 1)

$\begin{array}{cccccccccc}& 2x^4& +& x^3& -& 3x^2& +& 5x& -& 2\\ \overline{}& 2x^4& -& 2x^3& +& 2x^2& & & & \\ & & & 3x^3& -& 5x^2& +& 5x& -& 2\\ & & \overline{}& 3x^3& -& 3x^2& +& 3x& & \\ & & & & & -2x^2& +& 2x& -& 2\\ & & & & \overline{}& -2x^2& +& 2x& -& 2\\ & & & & & & & & & 0\end{array}\begin{array}{ccccc}{x}^2& -& x& +& 1\\ 2x^2& +& 3x& -& 2\\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{array}$

Vậy phép chia (2x⁴ + x³ − 3x² + 5x − 2) : (x² − x + 1) có thương là 2x² + 3x − 2.

b) (x⁴ − x³ − x² + 3x) : (x² − 2x +3)

$\begin{array}{cccccccccc}& x^4& -& x^3& -& x^2& +& 3x& & \\ \overline{}& x^4& -& 2x^3& +& 3x^2& & & & \\ & & & x^3& -& 4x^2& +& 3x& & \\ & & \overline{}& x^3& -& 2x^2& +& 3x& & \\ & & & & & -2x^2& & & & \\ & & & & \overline{}& -2x^2& +& 4x& -& 6\\ & & & & & & & -4x& +& 6\end{array}\begin{array}{ccccc}{x}^2& -& 2x& +& 3\\ x^2& +& x& -& 2\\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{array}$

Vậy phép chia (x⁴ − x³ − x² + 3x) : (x² − 2x +3) có thương là x² + x − 2 và dư −4x + 6.

Ta có A(x) = (3x² + 2x − 5).H(x)

H(x) = A(x) :  (3x² + 2x − 5) = (3x⁴ + 11x³ − 5x² − 19x − 5) : (3x² + 2x − 5)

$\begin{array}{cccccccccc}& 3x^4& +& 11x^3& -& 5x^2& -& 19x& +& 10\\ \overline{}& 3x^4& +& 2x^3& -& 5x^2& & & & \\ & & & 9x^3& & & -& 19x& +& 10\\ & & \overline{}& 9x^3& +& 6x^2& -& 15x& & \\ & & & & & -6x^2& -& 4x& +& 10\\ & & & & \overline{}& -6x^2& -& 4x& +& 10\\ & & & & & & & & & 0\end{array}\begin{array}{ccccc}3x^2& +& 2x& -& 5\\ x^2& +& 3x& -& 2\\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{array}$

Vậy H(x) = x² + 3x − 2.

Thực hiện phép chia P(x) : (x + 2)

$\begin{array}{cccccccccc}& 2x^3& -& 3x^2& +& x& +& m& & \\ \overline{}& 2x^3& +& 4x^2& & & & & & \\ & & & -7x^2& +& x& +& m& & \\ & & \overline{}& -7x^2& -& 14x& & & & \\ & & & & & 15x& +& m& & \\ & & & & \overline{}& 15x& +& 30& & \\ & & & & & & & m& -& 30\end{array}\begin{array}{ccccc}x& +& 2& & \\ 2x^2& -& 7x& +& 15\\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \\ & & & & \end{array}$

Để phép chia này là phép chia hết thì m − 30 = 0.

Vậy m = 30.

a) Giả sử P(x) chia hết cho x – a. Gọi Q(x) là đa thức thương, ta có:

P(x) = (x − a)Q(x) (1)

Từ đẳng thức (1), ta có P(a) = (a − a)Q(a) = 0.

Vậy a là một nghiệm của P(x).