5 câu Trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Đường tròn mặt phẳng toạ độ (Vận dụng) có đáp án

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng : x² + y² – 2ax – 2by + c = 0

Vì đường tròn (C) đi qua 3 điểm M; N; P nên ta có hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}4+16+4a-8b+c=0\\ 25+25-10a-10b+c=0\\ 36+4-12a+4b+c=0\end{array}\right.$    ⇒ $\left\{\begin{array}{l}4a-8b+c=-20\\ -10a-10b+c=-50\\ -12a+4b+c=-40\end{array}\right.$ ⇒$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=1\\ c=-20\end{array}\right.$

Vậy phương trình đường tròn (C) là: x² + y² – 4x – 2y – 20 = 0

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AB.

Khi đó M( – 2; 3) và N(1; – 1).

Ta có: $\overrightarrow{AC}$= (– 6; 8)

Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AC nhận $\overrightarrow{n_{AC}}$= (3; – 4) làm vectơ pháp tuyến và đi qua N( 1; – 1) là: 3(x – 1) – 4(y + 1) = 0 ⇔ 3x – 4y – 7 = 0.

Ta có: $\overrightarrow{BC}=\left(-6;12\right)$

Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng BC nhận $\overrightarrow{n_{BC}}$= (1; – 2) làm vectơ pháp tuyến và đi qua M( – 2; 3) là: x + 2 – 2(y – 3) = 0 ⇔ x – 2y + 8 = 0.

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do đó I là giao điểm của các đường trung trực nên tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{\begin{array}{l}x-2y=-8\\ 3x-4y=7\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=23\\ y=\frac{31}{2}\end{array}\right.\Rightarrow I\left(23;\frac{31}{2}\right)$ 

⇒ $\overrightarrow{IA}$= (– 22; $-\frac{29}{2}$) ⇒ IA = $\sqrt{{\left(-22\right)}^2+{\left(-\frac{29}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{2777}{4}}\approx 26$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi M là trung điểm của AB nên M$\left(\frac{5}{2};\frac{3}{2}\right)$

⇒ Đường trung trực (∆) của đoạn thẳng AB đi qua tâm I của đường tròn

Mặt khác ta có: ∆ đi qua điểm M và nhận vectơ $\overrightarrow{AB}$= (3; – 1) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

3(x – $\frac{5}{2}$) – (y – $\frac{3}{2}$) = 0 ⇔ 3x – y – 6 = 0

Vì I = (∆) ∩ (d) nên toạ độ điểm I thoả mãn hệ $\left\{\begin{array}{l}2x-y-5=0\\ 3x-y-6=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-3\end{array}\right.$  

⇒ I(1; -3)

Bán kính R = IA = $\sqrt{{(1-1)}^2+{(3+2)}^2}$= 5.

Vậy phương trình đường tròn (C) là: (x – 1)² + (y + 3)² = 25.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường tròn (C) có tâm I(1; −2) và bán kính R = 1

Đường thẳng x + 2y + 5 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}(1;2)$

Theo giả thiết ta có: đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng x + 2y + 5 = 0 nên đường thẳng ∆ nhận $\overrightarrow{n_1}$ làm vectơ chỉ phương. Do đó vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ là $\overrightarrow{n_{\Delta }}(2;-1)$.

Phương trình đường thẳng ∆ có dạng 2x – y + m = 0

Vì ∆ là tiếp tuyến của (C) nên d(I; ∆) = R

⇔ $\frac{\left|2+2+m\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}$ = 1

⇔ $\left|4+m\right|=\sqrt{5}$ 

⇔ $\left[\begin{array}{l}4+m=\sqrt{5}\\ 4+m=-\sqrt{5}\end{array}\right.$ 

⇔ $\left[\begin{array}{l}m=\sqrt{5}-4\\ m=-\sqrt{5}-4\end{array}\right.$

+ Với m = $\sqrt{5}-4$ thì phương trình của ∆ là: 2x – y + $\sqrt{5}-4$ = 0

+ Với m = $-\sqrt{5}-4$ thì phương trình của ∆ là: 2x – y $-\sqrt{5}-4$ = 0

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi I là tâm của đường tròn (C)

Vì I ∈ d nên I(6t + 10; t)

Theo giả thiết ta có: d (I; d₁) = d (I; d₂) = R

              ⇔ $\frac{\left|3.(6t+10)+4t+5\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}$ = $\frac{\left|4.(6t+10)-3t-5\right|}{\sqrt{4^2+{(-3)}^2}}$

              ⇔   $\left|22t+35\right|=\left|21t+35\right|$

                 ⇒ $\left[\begin{array}{l}22\mathrm{t}+35=21\mathrm{t}+35\\ 22\mathrm{t}+35=-21\mathrm{t}-35\end{array}\right.$

              ⇔ $\left[\begin{array}{l}22t-21t=35-35\\ 22t+21t=-35-35\end{array}\right.$ 

              ⇔ $\left[\begin{array}{l}t=0\\ t=\frac{-70}{43}\end{array}\right.$ 

+ Với t = 0 thì I (10; 0) và R = 7.

Do đó phương trình đường tròn (C) là: (x − 10)² + y² = 49

+ Với t = $\frac{-70}{43}$ thì I$\left(\frac{10}{43};\frac{-70}{43}\right)$ và R = $\frac{7}{43}$ .

Do đó phương trình đường tròn (C) là: ${\left(x-\frac{10}{43}\right)}^2+{\left(y+\frac{70}{43}\right)}^2={\left(\frac{7}{43}\right)}^2$.