46 bài tập Tìm vectơ chỉ phương, điểm thuộc đường thẳng, phương trình đường thẳng (có lời giải)

Trong không gian Oxyz, cho hình chóp O.ABC có \(A(2;0;0),B(0;4;0)\) và \(C(0;0;7)\).

a) Tìm toạ độ một vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng AB, AC.

b) Vectơ \(\vec v = ( - 1;2;0)\) có là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB không?

Cho đường thẳng \(d\) có phương trình tham số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 2 + 6t}\\{y = 11 + 2t}\\{z = 4t}\end{array}\quad (t \in \mathbb{R})} \right.\).

a) Tìm hai vectơ chỉ phương của \(d\).

b) Tìm các điểm trên \(d\) ứng với \(t\) lần lượt bằng \(0;2; - 3\).

Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \({M_0}(1;2;3)\) và nhận \(\vec a = (4;5; - 7)\) làm vectơ chỉ phương. Đường thẳng \(d\) có đi qua điểm \(A(1;1;5)\) không?

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \({M_0}(1;2;3)\) và nhận \(\vec a = (4;5; - 7)\) làm vectơ chỉ phương.

Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng AB, biết \(A(1;1;5)\) và \(B(3;5;8)\).

Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) với \(A(1;2;1),B(7;5;3)\), \(C(4;2;0),{A^\prime }(4;9;9)\). Tìm toạ độ một vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng \(AB,{A^\prime }{C^\prime }\) và \(B{B^\prime }\).

Cho đường thẳng \(d\) có phương trình tham số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + 8t}\\{y =  - 4t}\\{z = 3 + 12t}\end{array}} \right.\)

a) Tìm hai vectơ chỉ phương của \(d\).

b) Tìm ba điểm trên \(d\).

Cho hình hộp \(ABCD \cdot {A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\). Hãy chỉ ra các vectơ chỉ phương của đường thẳng \(B{C^\prime }\) mà điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó đều là các đỉnh của hình hộp \(ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\).

Cho hình lăng trụ \(ABC.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }\) (H.5.25). Trong các vectơ có điểm đẩu và điểm cuối đều là đỉnh của hình lăng trụ, những vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB ?

Cho hình hộp \(ABCD.{A^\prime }{B^\prime }{C^\prime }{D^\prime }\) (Hinh 5.17), đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A\) và \(C\). Tìm bốn vectơ có điểm đẩu và điểm cuối trong các đỉnh của hình hộp đă cho và là vectơ chỉ phương của \(d\).

Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(5;0; - 7)\) và nhận \(\vec v = (9;0; - 2)\) làm vectơ chỉ phương. Đường thẳng \(d\) có đi qua có điểm \(M( - 4;0; - 5)\) không?

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) đi qua điểm \({M_0}(5;0; - 6)\) và nhận \(\vec a = (3;2; - 4)\) làm vectơ chỉ phương.

Cho đường thẳng d đi qua hai điểm \({\rm{A}}(2;2;1)\) và \({\rm{B}}(4;5;3)\).

a) Tìm một vectơ chỉ phương của d .

b) Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của d .

Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng MN, biết \(M(2;0; - 1)\) và \(N(4;3;1)\).

Viết phương trình tham số của đường thẳng \(a\) trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường thẳng \(a\) đi qua điểm \(M(0; - 2; - 3)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (1; - 5;0)\).

b) Đường thẳng \(a\) đi qua hai điểm \(A(0;0;2)\) và \(B(3; - 2;5)\).

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng  đi qua điểm \(A(2; - 1;4)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = (3;4; - 5)\).

b) Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tham số là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + 2t}\\{y = 5 - 7t}\\{z = 9t}\end{array}} \right.\) ( \(t\) là tham số).

Chỉ ra toạ độ một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) và một điểm thuộc đường thẳng \(\Delta \).

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A(1\); 3 ; 6) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = (9;2;13)\).

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \), biết phương trình tham số của \(\Delta \) là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + 2t}\\{y = 3 - 5t}\\{z = 6 + 9t}\end{array}} \right.\)( \(t\) là tham số).

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm \(A(1;2;3)\) và \(B(3;5;9)\).

a) Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.

c) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng AB.

Lập phương trình chính tắc và phương trình tham số của đường thẳng $A B$ biết \(A(4;1;2)\) và \(B(5;8;6)\).

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng OM biết \(M(a;b;c)\) với \(abc \ne 0\).

Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(b\) trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường thẳng \(b\) đi qua điểm \(M(1; - 2; - 3)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (5; - 3;2)\).

b) Đường thẳng \(b\) đi qua hai điểm \(A(4;7;1)\) và \(B(6;1;5)\).

Cho đường thẳng \(d\) có phương trình chính tắc \(\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y + 3}}{3} = \frac{{z - 2}}{7}\).

a) Tìm một vectơ chỉ phương của \(d\) và một điểm trên \(d\).

b) Viết phương trình tham số của \(d\).

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + 3t}\\{y = 1}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\)

a) Hãy chỉ ra một điểm thuộc \(\Delta \) và một vectơ chỉ phương của \(\Delta \).

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng \({\Delta ^\prime }\) đi qua \(A(2;1;0)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec v = (3;0;2)\).

Trong không gian Oxyz, cho đường thằng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 + t}\\{y = 3t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.\)

a) Hãy chỉ ra hai điểm thuộc \(\Delta \) và một vectơ chỉ phương của \(\Delta \).

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua gốc toạ độ \({\rm{O}}(0;0;0)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec v = (1;3;1)\).

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 2}}{1}\).

Hãy chỉ ra một điểm thuộc \(\Delta \) và một vectơ chỉ phương của \(\Delta \).

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{5}\). Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của \(\Delta \) và hai điểm thuộc \(\Delta \).

Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(1; - 2;4)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = (3; - 5;1)\).

Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A(2; - 1;0)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = ( - 1;2;3)\).

Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tham số \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - t}\\{y = 3 + 2t}\\{z =  - 1 + 3t}\end{array}} \right.\) ( \(t\) là tham số).

a) Chỉ ra toạ độ hai điểm thuộc đường thẳng \(\Delta \).

b) Điểm nào trong các điểm \(C(6; - 7; - 16),D( - 3;11; - 11)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \) ?

Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\Delta \) đi qua điểm \(A( - 1;3;2)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = ( - 2;3;4)\);

b)  đi qua hai điểm \(M(2; - 1;3)\) và \(N(3;0;4)\).

Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M( - 1;4;5)\) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha ):3x + 2y = 0\).

Luyện tập 5. Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(M(2; - 1;3)\) và vuông góc với mặt phẳng (Oyz).

Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm \(A(1;2; - 1)\) và \(B(2;4;0)\).

Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A(2;1;3)\) và \(B(2;4;6)\)

Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A(1;1;2)\) và song song với đường thẳng \(d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 5}}{3}\).

Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A(2; - 1;4)\) và vuông góc với mặt phẳng \((P):x + 3y - z - 1 = 0\).

Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm \(A(2;3; - 1)\) và \(B(1; - 2;4)\).

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(2; - 2;1)\) và có vectơ chỉ phương là \(\vec a = (1; - 1;2)\).

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\).

b) Trong hai điểm \(A(3; - 3;3)\) và \(B(1; - 1;1)\), điếm nào thuộc \(d\) ?

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1 + 2t}\\{y = 3 - 3t}\\{z = 5 + 4t}\end{array}\quad (t \in \mathbb{R})} \right.\).

a) Hãy tìm toạ độ một vectơ chỉ phương của \(d\).

b) Hãy tìm toạ độ của các điểm thuộc \(d\) ứng với các giá trị \(t = 0,t =  - 1,t = 2\).

Trong không gian Oxyz, viết phương trình chính tắc của đường thẳng d , biết:

a) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(4;2; - 1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = ( - 1; - 4;3)\).

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d\) có phương trình chính tắc \(\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{z}{6}\).

a) Tìm toạ độ một vectơ chỉ phương của \(d\).

b) Trong hai điểm \(A(1; - 5; - 6)\) và \(B(3; - 2;1)\), điểm nào thuộc \(d\) ?

Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm \(A(4;2; - 1)\) và \(B(3; - 2;2)\).

Cho đường thẳng \(\Delta \) có phương trình tham số: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 3t}\\{y = 4 + t}\\{z = 5 - 2t}\end{array}} \right.\) ( \(t\) là tham số).

a) Tìm tọa độ của điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(\Delta \), biết \(M\) có hoành độ bằng 5 .

b) Chứng minh rằng điểm \(N(8;2;9)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \).

c) Chứng minh rằng điểm \(P( - 1;5;4)\) không thuộc đường thẳng  Lập phương trình tham số của đường thẳng \({\Delta ^\prime }\), biết \({\Delta ^\prime }\) đi qua \(P\) và song song với \(\Delta \).

d) Tìm toạ độ của điểm \(I\), biết \(I\) là giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((P)\) : \(x - y + z + 9 = 0\).

Lập phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng \(\Delta \) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\Delta \) đi qua điểm \(A(2; - 5;7)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = ( - 2;3;4)\);

b) \(\Delta \) đi qua hai điểm \(M( - 1;0;4)\) và \(N(2;5;3)\).

c)  đi qua điểm \(B(3;2; - 1)\) và vuông góc với mặt phẳng \((P):2x - 5y + 6z - 7 = 0\).