Ôn tập chương 4

*Vẽ đồ thị hàm số y = 2x – 3

Cho x = 0 thì y = -3 ⇒ (0; -3)

Cho y = 0 thì x = 3/2⇒ (3/2; 0)

*Vẽ đồ thị hàm số y = - $x^2$

*Đồ thị: hình dưới

Tọa độ giao điểm của hai đồ thị là A(1; -1) và B(-3; -9)

Thay tọa độ điểm A và B vào phương trình y = 2x – 3, ta có:

-1 = 2.1 – 3 = -1; -9 = 2.(-3) – 3 = -6 – 3 = -9

Thay tọa độ điểm A và B vào phương trình y = -$x^2$, ta có:

-1 = -${\left(1\right)}^2$ = -1; -9 = -${\left(3\right)}^2$ = -9

Vậy tọa độ điểm A và B là nghiệm của hệ phương trình:

Ta có: 3$x^2$ + 4(x – 1) = ${\left(x-1\right)}^2$ + 3

⇔ 3$x^2$ + 4x – 4 = $x^2$ – 2x + 1 + 3

⇔ 2$x^2$+ 6x – 8 = 0 ⇔ $x^2$ + 3x – 4 = 0

Phương trình $x^2$ + 3x – 4 = 0 có hệ số a = 1, b = 3, c = -4 nên có dạng a + b + c = 0, suy ra $x_1$ = 1, $x_2$ = -4

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x_1$ = 1, $x_2$ = -4

Ta có: $x^2$ + x + $\sqrt{3}$= $\sqrt{3}$x + 6

⇔ $x^2$ + x - $\sqrt{3}$x + $\sqrt{3}$– 6 = 0

⇔ $x^2$ + (1 - $\sqrt{3}$)x + $\sqrt{3}$– 6 = 0

$∆$ = ${\left(1-\sqrt{3}\right)}^2$ – 4.1.( $\sqrt{3}$– 6) = 1 - 2 $\sqrt{3}$+ 3 - 4 $\sqrt{3}$+ 24

= 28 - 6 $\sqrt{3}$= 27 – 2.3 $\sqrt{3}$+ 1 = ${\left(3\sqrt{3}\right)}^2$ – 2.3 $\sqrt{3}$+ 1= ${\left(3\sqrt{3}-1\right)}^2$ > 0

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: $x_1$ = 2 $\sqrt{3}$– 1, $x_2$ = - $\sqrt{3}$

Phương trình 5$x^2$ – 7x + 2 = 0 có hệ số a = 5, b = -7, c = 2 nên có dạng a + b + c = 0, suy ra $x_1$ = 1 (loại), $x_2$ = 2/5

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm x = 2/5

Ta có: $x^4$ + 2$x^2$ – x + 1 = 15$x^2$ – x – 35

⇔ $x^4$ + 2$x^2$ – x + 1 - 15$x^2$ + x + 35 = 0

⇔ $x^4$ – 13$x^2$ + 36 = 0

Đặt m =$x^2$. Điều kiện m $\ge$ 0

Ta có: $x^4$ – 13$x^2$ + 36 = 0 ⇔ $m^2$ – 13m + 36 = 0

$∆$ = ${\left(-13\right)}^2$ – 4.1.36 = 169 – 144 = 25 > 0

$\sqrt{∆}=\sqrt{25}$ = 5

Ta có: $x^2$ = 9 ⇒ x = $\pm$3

$x^2$ = 4 ⇒ x = $\pm$2

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: $x_1$ = 3; $x_2$ = -3; $x_3$ = 2; $x_4$ = -2

Ta có: 2$x^4$ + $x^2$ – 3 = $x^4$ + 6$x^2$ + 3

⇔ 2$x^4$ + $x^2$ – 3 – $x^4$ – 6$x^2$ – 3 = 0

⇔ $x^4$ – 5$x^2$ – 6 = 0

Đặt m = $x^2$. Điều kiện m $\ge$ 0

Ta có: $x^4$ – 5$x^2$ – 6 = 0 ⇔ $m^2$ – 5m – 6 = 0

$∆$ = ${\left(-5\right)}^2$ – 4.1.(-6) = 25 + 24 = 49 > 0

$\sqrt{∆}=\sqrt{49}$ = 7

Ta có: $x^2$ = 6 ⇒ x =$\pm$$\sqrt{6}$

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: $x_1$ = $\sqrt{6}$ , $x_2$ = -$\sqrt{6}$

Ta có: 3$x^4$ – 6$x^2$ = 0  ⇔ 3$x^2$($x^2$ – 2) = 0

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: $x_1$ = 0; $x_2$ = -√2 ; $x_3$ = √2

Ta có: 5$x^4$ – 7$x^2$ – 2 = 3$x^4$ – 10$x^2$ – 3

⇔ 5$x^4$ – 7$x^2$ – 2 – 3$x^4$ + 10$x^2$ + 3 = 0

⇔ 2$x^4$ + 3$x^2$ + 1 = 0

Đặt m = $x^2$. Điều kiện m $\ge$ 0

Ta có: 2$x^4$ + 3$x^2$ + 1 = 0 ⇔ 2$m^2$ + 3m + 1 = 0

Phương trình 2$m^2$ + 3m + 1 = 0 có hệ số a = 2, b = 3, c = 1 nên có dạng :

a – b + c = 0 suy ra $m_1$ = -1, $m_2$ = -1/2

Cả hai giá trị của m đều nhỏ hơn 0 nên không thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy phương trình vô nghiệm.

Đặt m = $x^2$ – 2x

Ta có: ${\left(x^2-2x\right)}^2$ – 2$x^2$ + 4x – 3 = 0

⇔ ${\left(x^2-2x\right)}^2$ – 2($x^2$ – 2x) – 3 = 0

⇔ $m^2$– 2m – 3 = 0

Phương trình $m^2$ – 2m – 3 = 0 có hệ số a = 1, b = -2, c = -3 nên có dạng a – b + c = 0

Suy ra: $m_1$ = -1, $m_2$ = 3

Với m = -1 ta có: $x^2$ – 2x = -1 ⇔ $x^2$ – 2x + 1 = 0

Phương trình $x^2$ – 2x + 1 = 0 có hệ số a = 1, b = -2, c = 1 nên có dạng a + b + c = 0

Suy ra: $x_1=x_2$ = 1

Với m = 3 ta có: $x^2$ – 2x = 3 ⇔ $x^2$– 2x – 3 = 0

Phương trình $x^2$ – 2x – 3 = 0 có hệ số a = 1, b = -2, c = -3 nên có dạng a – b + c = 0

Suy ra: $x_1$ = -1, $x_2$= 3

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: $x_1$ = 1, $x_2$ = -1, $x_3$ = 3

Ta có: $∆$' = ${\left[-\left(m+1\right)\right]}^2$ – 1.($m^2$ + m – 1)

= $m^2$ + 2m + 1 – $m^2$ – m + 1 = m + 2

Phương trình có nghiệm khi $∆$' $\ge$ 0 ⇒ m + 2 $\ge$ 0 ⇔ m $\ge$ -2

Vậy với m $\ge$ -2 thì phương trình đã cho có nghiệm.

Giả sử phương trình đã cho có 2 nghiệm $x_1$ và $x_2$, theo hệ thức Vi-ét ta có:

$x_1$ + $x_2$ = -b/a = -[-2(m + 1)]/1 = 2(m + 1)/1 = 2(m + 1)

$x_1$$x_2$ = c/a = ($m^2$ + m - 1)/1 = $m^2$ + m – 1

${x_1}^2+{x_2}^2$ = ${\left(x_1+x_2\right)}^2$ – 2$x_1$$x_2$ = ${\left(2m+2\right)}^2$ – 2($m^2$ + m – 1)

= 4$m^2$ + 8m + 4 – 2$m^2$ – 2m + 2 = 2$m^2$ + 6m + 6

Vì hai số có tổng bằng 10 và tích bằng -10 nên nó là nghiệm của phương trình: $x^2$ – 10x – 10 = 0

Ta có: $∆$' = ${\left(-5\right)}^2$ – 1.(-10) = 25 + 10 = 35 > 0

$\sqrt{∆\text{'}}=\sqrt{35}$

Vậy hai số đó là 5 + $\sqrt{35}$ và 5 - $\sqrt{35}$

Gọi x (tấn) là lượng than mà đội khai thác mỗi ngày theo kế hoạch. Điều kiện: x > 0

Sau 3 ngày đầu, mỗi ngày đội khai thác (x + 8) tấn

Thời gian dự định khai thác là 216/x (ngày)

Lượng than khai thác 3 ngày đầu là 3x (tấn)

Lượng than khai thác trong những ngày còn lại là 232 – 3x (tấn)

Thời gian đội khai thác 232 – 3x tấn than là (232 - 3x)/(x + 8) (ngày)

Theo đề bài, ta có phương trình:

Giá trị x = -72 không thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy theo kế hoạch mỗi ngày đội khai thác 24 tấn than.

Gọi x (km/h) là vận tốc của ca nô khi nước yên lặng.

Điều kiện: x > 3

Khi đó vận tốc khi đi xuôi dòng trên sông là x + 3 (km/h)

vận tốc khi đi ngược dòng trên sông là x – 3 (km/h)

thời gian ca nô đi xuôi dòng là 30/(x + 3) (giờ)

thời gian ca nô đi ngược dòng là 30/(x - 3) (giờ)

thời gian ca nô nghỉ ở B là 40 phút = 2/3 (giờ)

Theo đề bài, ta có phương trình:

Giá trị x = - 3/4 không thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy vận tốc của ca nô khi nước yên lặng là 12 km/h.

Cho hàm số: y = -3$x^2$. Ta có: a = -3 < 0 nên hàm số đồng biến khi x < 0.

Chọn C) Khi -15 < x < 0, hàm số đồng biến.

Muốn tìm hai số khi biết tổng bằng S, tích của chúng bằng P thì ta phải giải phương trình

Chọn B) $x^2$ - Sx + P = 0

Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm số dương khi

Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có 1 nghiệm số dương và 1 nghiệm bằng 0 khi:

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có nghiệm kép hoặc có 1 nghiệm dương và một nghiệm âm.

Phương trình (2) có một nghiệm số kép khi và chỉ khi Δ = 169 - 4m = 0

Phương trình (2) có một nghiệm số dương và một nghiệm số âm khi

Vậy với m = 169/4 hoặc m < 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

Phương trình (1) có một nghiệm khi phương trình (2) có 1 nghiệm số kép bằng 0 hoặc phương trình (2) có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm số âm.

Ta thấy, với $∆$ = 0 phương trình (2) có nghiệm số kép $t_1$ = $t_2$ = 13/2 $\ne$ 0( không thỏa mãn)

Nếu phương trình (2) có một nghiệm t1 = 0. Theo hệ thức Vi-ét ta có:

$t_1$ + $t_2$ = 13 ⇔ $t_2$ = 13 - $t_1$ = 13 - 0 = 13 > 0 ( không thỏa mãn)

Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) chỉ có 1 nghiệm.

Phương trình (1) vô nghiệm khi phương trình (2) có 2 nghiệm số âm hoặc vô nghiệm.

Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm âm thì theo hệ thức Vi-ét ta có:

$t_1+t_2$ = 13 > 0 vô lý

Vậy phương trình (1) vô nghiệm khi phương trình (2) vô nghiệm.

Suy ra: $∆$= 169 - 4m < 0 ⇔ m > 169/4}