Phần thuận. Gọi I là trung điểm của AO thì I là điểm cố định. IM là đường trung bình của tam giác AOB nên $I M = \frac{O B}{2} = 2 c m .$ Điểm M luôn các điểm I cố định 2 cm nên M thuộc đường tròn tâm I bán kính 2 cm.

Phần đảo. Lấy điểm M bất kì thuộc đường tròn $(I; 2 c m),$ M khác A.

Ta sẽ chứng minh rằng M là trung điểm của một đoạn thẳng nào đó có một đầu là A và một đầu thuộc đường tròn (O)

Thật vậy, gọi B là giao điểm của AM và (O), tam giác IAM cân nên $\hat{I A M} = \hat{I M A}, Δ O A B$ cân nên $\hat{O A B} = \hat{B},$ suy ra $\hat{I M A} = \hat{B},$ do đó $I M / / O B .$ Tam giác OAB có $O I = I A, I M / / O B$ nên AM=MB.

Kết luận. Khi điểm B chuyển động trên (O), tập hợp các trung điểm M của AB là đường tròn (I;2cm) trừ điểm A.

Câu 2

Cho góc vuông xOy cố định, điểm A cố định trên tia Oy, điểm B chuyển động trên tia Ox. Tìm tập hợp các trung điểm M của AB.

Xem đáp án

Lời giải

Phần thuận. OM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông OAB nên $O M = \frac{A B}{2}$ mà $M A = \frac{A B}{2},$ suy ra MA=MO. Điểm M cách đều hai điểm O và A cố định nên M thuộc đường trung trực của OA.

Giới hạn: Vì đoạn thẳng AB chỉ thuộc miền trong góc vuông xOy nên điểm M nằm trên tia Hm thuộc đường trung trực của OA và thuộc miền trong góc xOy.

Phần đảo. Lấy điểm M bất kì thuộc tia Hm thì

Từ (1), (4) suy ra MA=MB do đó M là trung điểm của AB.

Kết luận. Khi điểm B chuyển động trên tia Ox thì tập hợp các trung điểm M của AB là tia Hm thuộc đường trung trực của OA và thuộc miền trong góc xOy.

Câu 3

Cho tam giác ABC cố định. Các điểm M sao cho các tam giác MAB và MAC có diện tích bằng nhau nằm trên đường nào?

Xem đáp án

Lời giải

$S_{M A B} = S_{M A C} \Rightarrow B B' = C C' (B B', C C'$ là các đường vuông góc kẻ từ B và từ C đến MA). Xét hai trường hợp:

a) Điểm M thuộc miền trong góc BAC hoặc góc đối đỉnh với nó (h.34), tức là B và C nằm khác phía đốỉ với AM. Khi đó đường thẳng AM cắt đoạn thẳng BC ở I. Do $B B' = C C', B B' / / C C'$ nên BB'CC' là hình bình hành, I là trung điểm của BC. Điểm M thuộc đường thăng AI.

b) Điểm M thuộc miền trong góc kề bù với góc BAC (h.35), tức là B và C nằm cung phía đối với AM. Do $B B' = C C', B B' / / C C'$ nên BB'CC' là hình bình hành, AM//BC. Điểm M thuộc đường thẳng qua A và song song với BC.

Kết luận chung: Các điểm M phải tìm gồm đường thẳng chứa đường trung tuyến AI của tam giác ABC và đường thẳng qua A song song với BC, trừ điểm A.

Câu 4

Các điểm M cách đều hai đường thẳng cố định xy, x’y’ nằm trên đường nào?

Xem đáp án

Lời giải

Trường hợp xy cắt x’y’ ở O, điểm M nằm trên bốn tia phân giác của bốn góc tạo bởi hai đường thẳng (bốn tia này làm thành hai đường thẳng vuông góc vơi nhau tại O, xem hình)

Trường hợp xy//x'y', điểm M nằm trên đường thẳng song song cách đều xy và x'y' (xem hình)

Câu 5

Cho góc vuông xOy cố định, điểm A cố định trên tia Oy, điểm B chuyển động trên tia Ox. Đỉnh C các tam giác ABC vuông cân tại B nằm trên đường nào?
Dự đoán tập hợp điểm (khi C và O nằm khác phía đối với AB),
Khi B trùng O thì C trùng D (D thuộc tia Ox sao cho OD=OA), đó là điểm cố định.
Chú ý rằng khi B chạy xa vô tận trên tia Ox thì C cũng chạy xa vô tận.
Từ các nhận xét trên, ta dự đoán các đỉnh C nằm trên một tỉa gốc D.

Xem đáp án

Lời giải

Câu 6