Phần thuận. Gọi I là trung điểm của AO thì I là điểm cố định. IM là đường trung bình của tam giác AOB nên $I M = \frac{O B}{2} = 2 c m .$ Điểm M luôn các điểm I cố định 2 cm nên M thuộc đường tròn tâm I bán kính 2 cm.

Phần đảo. Lấy điểm M bất kì thuộc đường tròn $(I; 2 c m),$ M khác A.

Ta sẽ chứng minh rằng M là trung điểm của một đoạn thẳng nào đó có một đầu là A và một đầu thuộc đường tròn (O)

Thật vậy, gọi B là giao điểm của AM và (O), tam giác IAM cân nên $\hat{I A M} = \hat{I M A}, Δ O A B$ cân nên $\hat{O A B} = \hat{B},$ suy ra $\hat{I M A} = \hat{B},$ do đó $I M / / O B .$ Tam giác OAB có $O I = I A, I M / / O B$ nên AM=MB.

Kết luận. Khi điểm B chuyển động trên (O), tập hợp các trung điểm M của AB là đường tròn (I;2cm) trừ điểm A.

Câu 2

Cho góc vuông xOy cố định, điểm A cố định trên tia Oy, điểm B chuyển động trên tia Ox. Tìm tập hợp các trung điểm M của AB.

Xem đáp án

Lời giải

Phần thuận. OM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông OAB nên $O M = \frac{A B}{2}$ mà $M A = \frac{A B}{2},$ suy ra MA=MO. Điểm M cách đều hai điểm O và A cố định nên M thuộc đường trung trực của OA.

Giới hạn: Vì đoạn thẳng AB chỉ thuộc miền trong góc vuông xOy nên điểm M nằm trên tia Hm thuộc đường trung trực của OA và thuộc miền trong góc xOy.

Phần đảo. Lấy điểm M bất kì thuộc tia Hm thì

Từ (1), (4) suy ra MA=MB do đó M là trung điểm của AB.

Kết luận. Khi điểm B chuyển động trên tia Ox thì tập hợp các trung điểm M của AB là tia Hm thuộc đường trung trực của OA và thuộc miền trong góc xOy.

Câu 3

Cho tam giác ABC cố định. Các điểm M sao cho các tam giác MAB và MAC có diện tích bằng nhau nằm trên đường nào?

Xem đáp án

Lời giải

$S_{M A B} = S_{M A C} \Rightarrow B B' = C C' (B B', C C'$ là các đường vuông góc kẻ từ B và từ C đến MA). Xét hai trường hợp:

a) Điểm M thuộc miền trong góc BAC hoặc góc đối đỉnh với nó (h.34), tức là B và C nằm khác phía đốỉ với AM. Khi đó đường thẳng AM cắt đoạn thẳng BC ở I. Do $B B' = C C', B B' / / C C'$ nên BB'CC' là hình bình hành, I là trung điểm của BC. Điểm M thuộc đường thăng AI.

b) Điểm M thuộc miền trong góc kề bù với góc BAC (h.35), tức là B và C nằm cung phía đối với AM. Do $B B' = C C', B B' / / C C'$ nên BB'CC' là hình bình hành, AM//BC. Điểm M thuộc đường thẳng qua A và song song với BC.

Kết luận chung: Các điểm M phải tìm gồm đường thẳng chứa đường trung tuyến AI của tam giác ABC và đường thẳng qua A song song với BC, trừ điểm A.

Câu 4

Các điểm M cách đều hai đường thẳng cố định xy, x’y’ nằm trên đường nào?

Xem đáp án

Lời giải

Trường hợp xy cắt x’y’ ở O, điểm M nằm trên bốn tia phân giác của bốn góc tạo bởi hai đường thẳng (bốn tia này làm thành hai đường thẳng vuông góc vơi nhau tại O, xem hình)