Đề kiểm tra Phương trình quy về phương trình bậc hai (có lời giải) - Đề 3

\[\sqrt {{x^2} + 3x + 2}  = \sqrt {3{x^2} + 1}  \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 2 = 3{x^2} + 1 \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - 1 = 0\].

Phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1}\), \({x_2}\) thỏa mãn \({x_1}.{x_2} =  - 8\)

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\{x_1}.{x_2} =  - 8\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m + 6 > 0\\m - 5 =  - 8\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 6\\m =  - 3\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow m =  - 3\].

Khi đó phương trình có dạng \[{x^2} - 2x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x =  - 2\end{array} \right.\].

Vậy phương trình có 1 nghiệm nguyên âm.

Bình phương hai vế ta được

\[\begin{array}{l}4{x^2} - 6x - 6 = {x^2} - 6\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\end{array}\]

Thay các giá trị tìm được vào phương trình trên thì thấy chỉ có nghiệm \(x = 2\) thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 2 \right\}\)

Bình phương hai vế của phương trình ta được:\(2{x^2} + 3x - 1 = {\left( {x + 1} \right)^2} \Leftrightarrow 2{x^2} + 3x - 1 = {x^2} + 2x + 1 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 2\end{array} \right.\)

Thay \(x = 1\) vào phương trình ta được \(2 = 2\) là mệnh đề đúng nên \(x = 1\) là nghiệm của phương trình.

Thay \(x =  - 2\) vào phương trình ta được \(\sqrt 1  =  - 5\) là mệnh đề sai nên \(x =  - 2\) không là nghiệm của phương trình.

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 1.

Bình phương hai vế của phương trình ta được:\(2{x^2} - x + 1 = {\left( {x + 3} \right)^2} \Leftrightarrow 2{x^2} - x + 1 = {x^2} + 6x + 9 \Leftrightarrow {x^2} - 7x - 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 8\end{array} \right.\)

Thay \(x =  - 1\) vào phương trình ta được \(2 = 2\) là mệnh đề đúng nên \(x =  - 1\) là nghiệm của phương trình.

Thay \(x = 8\) vào phương trình ta được \(\sqrt {121}  = 11\) là mệnh đề đúng nên \(x = 8\) là nghiệm của phương trình.

Vậy tích các nghiệm của phương trình là \( - 8\).

Bình phương hai vế phương trình ta được

\(3{x^2} + 7x - 2 = {x^2} + 2x + 1 \Leftrightarrow 2{x^2} + 5x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\x =  - 3\end{array} \right.\). Thay lần lượt hai giá trị của \(x\) vào phương trình đã cho, ta thấy chỉ \(x = \frac{1}{2}\) thỏa mãn phương trình.

Vậy phương trình đã cho có \(1\) nghiệm.