Bộ 20 đề thi Giữa kì 1 Toán 12 Cánh diều có đáp án - Đề 20

Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {a,b,c} \right)\) bán kính \(R\) dạng khai triển là :\({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\), \(d = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - {R^2}} \)

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}a = \frac{{ - 2}}{{ - 2}} = 1;\,b = \frac{{ - 4}}{{ - 2}} = 2;\,c = \frac{0}{{ - 2}} = 0\\d = 0 \Rightarrow R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}  = \sqrt 5 .\end{array}\)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy \(f\left( x \right) \ge  - 2\mathop {}\limits_{} \forall x \in \left[ { - 1;3} \right)\) và \(f\left( { - 1} \right) =  - 2\) nên \(\mathop {{\rm{min}}}\limits_{x \in \left[ { - 1;3} \right)} f\left( x \right) =  - 2\).

TXĐ: \(\mathbb{R}\)

Ta có \(y' =  - 3{x^2} + 6x - 3\, =  - 3\,{\left( {x - 1} \right)^2} \le 0;\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Vậy hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Do \(A\,BC.A'B'C'\) là hình lăng trụ nên\(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {A'B'} \).

Khi đó \(2\overrightarrow {AK}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AB'}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {A'B'}  = 2\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AA'} \)

\( = 2\left( {\overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CA} } \right) + \overrightarrow {AA'}  = 2\left( {\overrightarrow b  - \overrightarrow a } \right) + \overrightarrow c \) .

Suy ra \(\overrightarrow {AK}  =  - \overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \frac{1}{2}\overrightarrow c \).

Dựa vào bảng biến thiên ta có

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y = 1\) nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang \(y = 1\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y =  - \infty \) nên đồ thị hàm số tiệm cận đứng là \(x = 2\).

Đồng thời hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định nên chọn hàm số là \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\).