Bài 1: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

Theo hệ thức liên hệ giữ cạnh góc vuông và hình chiếu của nó, ta có:

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

142 = y.16

x + y = 15 ⇒ x = 16 – y = 16 – 12,25 = 3,75

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

$x^2$ = 2.(2 + 6) = 2.8 = 16 ⇒ x = 4

$y^2$ = 6.(2 + 6) = 6.8 = 48 ⇒ y = $\sqrt{48}$ = $4\sqrt{3}$

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu hai cạnh góc vuông, ta có:

$x^2$ = 2.8 = 16 ⇒ x = 4

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

$y^2=7^2+9^2$ ⇒ y = 

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong tam giác vuông, ta có:

x.y = 7.9 ⇒ x = 

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

$5^2$ = x.x = $x^2$ ⇒ x = 5

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

$y^2$ = x.(x + x) = 5.(5 + 5) = 50 ⇒ y = $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

$3^2$ = 2.x ⇒ x =  = 4,5

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

$y^2$ = x.(x + 2) = 4,5.(4,5 + 2) = 29,25 ⇒ y = $\sqrt{29,25}$

Ta có:  = 4.5 = 20

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

$y^2=B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2={15}^2+{20}^2$ = 625

Suy ra: y = $\sqrt{625}$ = 25

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong tam giác vuông, ta có:

x.y = 15.20 ⇒ x =  = 12

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có: $A{H}^2=BH.CH$

⇒ CH = 

BC = BH + CH = 25 + 10,24 = 35,24

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

$A{B}^2=BH.BC$ ⇒ AB = 

≈ 29,68

$A{C}^2=HC.BC$

⇒ AC =  ≈ 18,99

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

$A{B}^2=BH.BC$ ⇒ BC =  = 24

CH = BC – BH = 24 – 6 = 18

Theo hệ thức liên hệ giữa các cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

$A{C}^2=HC.BC$ ⇒ AC =  ≈ 20,78

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu cạnh góc vuông, ta có:

$A{H}^2=HB.BC$ ⇒ AH = 

Giả sử tam giác ABC có  , AB = 5, AC = 7

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$

⇒ BC = 

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh trong tam giác vuông, ta có:

AH.BC = AB.AC ⇒ AH = 

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó, ta có:

$A{B}^2=BH.BC$ ⇒ BH = 

CH = BC – BH = 

Giả sử tam giác ABC có góc BAC = $90°$, AH ⊥ BC, BH = 3, CH = 4

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

$A{B}^2$ = BH.BC = 3.(3 + 4) = 3.7 = 21 ⇒ AB = $\sqrt{21}$

$A{C}^2$ = CH.BC = 4.(3 + 4) = 4.7 = 28 ⇒ AC = $\sqrt{28}=2\sqrt{7}$

Giả sử tam giác ABC có góc (BAC) = $90°$

Theo đề bài, ta có: BC – AB = 1 (cm)    (1)

AB + AC – BC = 4 (cm)    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BC – AB + AB + AC – BC = 4 + 1 = 5 (cm)

Theo định lí Pi-ta-go, ta có: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$    (3)

Từ (1) suy ra: BC = AB + 1    (4)

Thay (4) vào (3) ta có:

${\left(A{B}^2+1\right)}^2=A{B}^2+A{C}^2$

⇔ $A{B}^2+2AB+1=A{B}^2+5^2$

⇔ 2AB = 24 ⇔ AB = 12 (cm)

Thay AB = 12 (cm) vào (1) ta có: BC = 12 + 1 = 13 (cm)

Giả sử tam giác ABC có góc (BAC) = $90°$, AH ⊥ BC, BC = 5, AH = 2 và BH < CH

Ta có: BH + CH = 5     (1)

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và cạnh huyền trong tam giác, ta có:

BH.CH = $A{H}^2=2^2$ = 4    (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BH = 1 và CH = 4

Theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

$A{B}^2$ = BH.BC = 1.5 = 5

Suy ra: AB = $\sqrt{5}$

Vì hai vệ tinh cùng cách mặt đất 230 km nên tam giác AOB cân tại O.

Ta có: OA = R + 230

= 6370 + 230 = 6600 (km)

Trong tam giác AOB ta có: OH ⊥ AB

Suy ra: HA = HB = AB/2 = 2200/2 = 1100 (km)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AHO, ta có:

$O{A}^2=A{H}^2+O{H}^2$

Suy ra: $O{H}^2=O{A}^2-A{H}^2$

Suy ra:

OH =  ≈ 6508 (km)

Vì OH > R nên hai vệ tinh nhìn thấy nhau.

*Cách dựng (hình a):

- Dựng góc vuông xOy.

- Trên tia Ox, dựng đoạn OA = a

- Trên tia Oy, dựng đoạn OB = b.

- Nối AB, ta có đoạn AB = $\sqrt{a^2+b^2}$ cần dựng

*Chứng minh:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AOB, ta có:

$A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2=a^2+b^2$

Suy ra: AB = $\sqrt{a^2+b^2}$

*Cách dựng (hình b):

- Dựng góc vuông xOy

- Trên tia Ox, dựng đoạn OA = b.

- Dựng cung tròn tâm A, bán kính bằng a cắt Oy tại B.

Ta có đoạn OB = $\sqrt{a^2-b^2} (a>b)$ cần dựng.

*Chứng minh:

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AOB, ta có:

$A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2\Rightarrow O{B}^2=A{B}^2-O{A}^2\Rightarrow a^2-b^2$

Suy ra: OB = $\sqrt{a^2-b^2}$

*Cách dựng:

- Dựng đường thẳng t.

- Trên đường thẳng t dựng liên tiếp hai đoạn thẳng AB = a, BC = b.

- Dựng nửa đường tròn tâm O đường kính AC.

- Từ B dựng đường thẳng vuông góc với AC cắt nửa đường tròn tâm O tại D

Ta có đoạn BD = $\sqrt{ab}$ cần dựng.

*Chứng minh:

Nối DA và DC. Ta có ΔACD vuông tại D và DB ⊥ AC.

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:

$B{D}^2$ = AB.BC = a.b

Suy ra: BD = $\sqrt{ab}$

Kẻ BH ⊥ AD ta được tứ giác BCDH là hình chữ nhật.

Ta có: BC = DH và BH = CD (tính chất hình chữ nhật)

Suy ra: DH = 4(cm)

AH = 8 – 4 = 4 (cm)

BH = 10 (cm)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABH, ta có:

$A{B}^2=B{H}^2+A{H}^2$

Suy ra: AB =  ≈ 10,8 (m)

Vậy băng chuyền dài khoảng 10,8 m.

Ta có: $5^2+{12}^2=25+144=169={13}^2$

Vì tam giác có ba cạnh với độ dài các cạnh thỏa mãn định lí Pi-ta-go (bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại) nên nó là tam giác vuông.

Vậy góc đối diện với cạnh 13 (cạnh dài nhất) là góc vuông.

Gọi a, b, c lần lượt là chu vi của các tam giác ABC, ABH, ACH.

Ta có: b = 30cm, c = 40cm

Xét hai tam giác vuông AHB và CHA, ta có:

Vì BM là đường phân giác của góc B nên ta có:

Vì BN là đường phân giác của góc ngoài đỉnh B nên ta có: BM ⊥ BN

Suy ra tam giác BMN vuông tại B

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu hai cạnh góc vuông, ta có: $A{B}^2$ = AM.AN

Suy ra: AN =  = 12 (cm)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BDM, ta có:

$B{M}^2=B{D}^2+D{M}^2\Rightarrow B{D}^2=B{M}^2-D{M}^2$    (1)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông CEM, ta có:

$C{M}^2=C{E}^2+E{N}^2\Rightarrow C{E}^2=C{M}^2-E{M}^2$    (2)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AFM, ta có:

$A{M}^2=A{F}^2+F{M}^2\Rightarrow A{F}^2=A{M}^2-F{M}^2$   (3)

Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có:

$B{D}^2+C{E}^2+A{F}^2=B{M}^2-D{M}^2+C{M}^2-E{M}^2+A{M}^2-F{M}^2$  (4)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BFM, ta có:

$B{M}^2=B{F}^2+F{M}^2$     (5)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông CDM, ta có:

$C{M}^2=C{D}^2+D{M}^2$     (6)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AEM, ta có:

$A{M}^2=A{E}^2+E{M}^2$     (7)

Thay (5), (6), (7) vào (4) ta có:

$$\begin{gathered} B{D}^2+C{E}^2+A{F}^2 \\ =B{F}^2+F{M}^2-D{M}^2+C{D}^2+D{M}^2-E{M}^2+A{E}^2+E{M}^2-F{M}^2 \\ =D{C}^2+E{A}^2+F{B}^2 \end{gathered}$$

Vậy $B{D}^2+C{E}^2+A{F}^2=D{C}^2+E{A}^2+F{B}^2$

Hướng dẫn:

$∆$ABC ∼ $∆$HAC nên 

Suy ra HC = 4/3HA = 12. Chọn C.

Hướng dẫn:

$∆$ABC ∼ $∆$HBA nên 

Suy ra HB = 4/5HA = 48/5 = 9,6. Chọn B.

$h^2$ = b’c’ kéo theo h = 48; a = b’ + c’ = 100 từ $b^2$ = ab’ suy ra b = 60, từ $c^2$ = ac’ suy ra c = 80.

c’ = $c^2$/a = 4, b’ = a – c’ = 5, $b^2$ = ab’ = 45 nên b = $3\sqrt{5}$; $h^2$ = b’c’ = 20, nên h = $2\sqrt{5}$

Từ $b^2$ = ab’, $c^2$ = ac’ suy ra b’ = $b^2$/a, c’ = $c^2$/a.

Hai cách:

Cách 1: Dùng công thức tính diện tích tam giác vuông ABC:

S = 1/2ah = 1/2bc suy ra h = bc/a.

Cách 2: Dùng tam giác đồng dạng:

Xét tam giác ABC vuông tại A với AB > AC, gọi AH là đường cao kẻ từ A thì ta có:

Xét tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 12cm, Bc = 13cm.

Vì ${13}^2=5^2+{12}^2$ nên $∆$ABC là tam giác vuông tại A. Gọi AH là đường cao kẻ từ A thì

$A{H}^2$ = HB. HC = ${12}^2$ = 144 nên HC = 3HB nên $H{B}^2$ = ${12}^2$/3 = 48, suy ra HB = 4$\sqrt{3}$, HC = 12$\sqrt{3}$ và BC = HB + HC = 16$\sqrt{3}$ (cm).

Hai tam giác vuông HCD và DCM đồng dạng (có cùng góc nhọn tại C) mà

$∆$DCM ∼ $∆$ABM (vì là hai tam giác vuông có $\angle$(DMC) = $\angle$(AMB), vậy $∆$HCD ∼ $∆$ABM. Khẳng định a) là đúng.

Theo câu a), từ AB = 2AM, suy ra HC = 2HD. Ta có HC < MC (h là chân đường cao hạ từ D của tam giác DCM vuông tại D) nên HC = 2HD < MC = AM < AH (do M nằm giữa A và H), vì thế 2HD không thể bằng AH. Khẳng định b) là sai.

Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại H. Trong tam giác vuông ABD, ta có:

Kẻ đường cao CK của tam giác ABC, dễ thấy KB = AB – DC = 6 - 8/3 = 10/3.

Tam giác vuông ABD có $D{B}^2=A{B}^2+A{D}^2=6^2+4^2$ = 52, từ đó DB = $\sqrt{52}=2\sqrt{13}$ (cm)