Bài 2 : Tích phân

Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = 2x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = t (1 ≥ t ≥ 5) (H.45).

1. Tính diện tích S của hình T khi t = 5 (H.46).

2. Tính diện tích S(t) của hình T khi x ∈ [1; 5].

Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b], F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của f(x). Chứng minh rằng F(b) – F(a) = G(b) – G(a), (tức là hiệu số F(b) – F(a) không phụ thuộc việc chọn nguyên hàm).

Cho tích phân $I={\int }_0^1{\left(2x+1\right)}^{2}dx$

1. Tính I bằng cách khai triển ${\left(2x+1\right)}^2$.

2. Đặt u = 2x + 1. Biến đổi biểu thức ${\left(2x+1\right)}^2$dx thành g(u)du.

3. Tính ${\int }_{u\left(0\right)}^{u\left(1\right)}g\left(u\right)du$ và so sánh kết quả với I trong câu 1

Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = 2x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = t (1 ≥ t ≥ 5) (H.45).

1. Tính diện tích S của hình T khi t = 5 (H.46).

2. Tính diện tích S(t) của hình T khi x ∈ [1; 5].

Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = 2x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = t (1 ≥ t ≥ 5) (H.45).

1. Tính diện tích S của hình T khi t = 5 (H.46).

2. Tính diện tích S(t) của hình T khi x ∈ [1; 5].

Hãy chứng minh các tính chất 1 và 2.

Hãy tính $\int \left(x+1\right)e^{x}dx$ bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần.

Từ đó tính ${\int }_0^1\left(x+1\right)e^{x}dx$

Tính các tích phân sau: ${\int }_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{{\left(1-x\right)}^2}dx$

Tính các tích phân sau: ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin \left(\frac{\pi }{4}-x\right)dx$

Tính các tích phân sau: ${\int }_{\frac{1}{2}}^2\frac{1}{x\left(x+1\right)}dx$

Tính các tích phân sau: ${\int }_0^{2}x{\left(x+1\right)}^2$

Tính các tích phân sau:${\int }_{\frac{1}{2}}^2\frac{1-3x}{{\left(x+1\right)}^2}dx$

Tính các tích phân sau: ${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\sin 3x.\cos 5xdx$

Tính các tích phân sau: ${\int }_0^2\left|1-x\right|dx$

Tính các tích phân sau: ${\int }_0^{\ln 2}\frac{e^{2x+1}}{e^x}dx$

Tính các tích phân sau: ${\int }_0^{\pi }\sin 2x.{\cos }^{2}xdx$

Tính ${\int }_0^{1}x{\left(1-x\right)}^{5}dx$ bằng hai phương pháp:

a) Đổi biến số u = 1 – x;

b) Tính tích phân từng phần.