Bài 5: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Câu 1

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số đã học theo sơ đồ trên.
y = ax + b
$y = a x^{2} + b x + c$

Xem đáp án

Lời giải

* Hàm số y = ax + b

Trường hợp a > 0

1. TXĐ: D = R.

2. Sự biến thiên.

y’ = a > 0. Vậy hàm số đồng biến trên toàn bộ R.

QUẢNG CÁO

Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12

QUẢNG CÁO

Trường hợp a < 0

1. TXĐ: D = R.

2. Sự biến thiên.

y’ = a < 0. Vậy hàm số đồng biến trên toàn bộ R.

Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12

* Hàm số y = ax2 + bx + c

Trường hợp a > 0

1. TXĐ: D = R.

2. Sự biến thiên.

y’ = 2ax + b. Cho y’ = 0 thì x = - b/2a.

Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12

Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞,- b/2a).

Hàm số đồng biến trên khoảng [- b/2a, +∞].

Hàm số đạt cực tiểu bằng - Δ/4a tại x = - b/2a .

3. Vẽ đồ thị:

Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12

Trường hợp a < 0

1. TXĐ: D = R.

2. Sự biến thiên.

y’ = 2ax + b. Cho y’ = 0 thì x = - b/2a.

Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12

Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞,- b/2a).

Hàm số nghịch biến trên khoảng [- b/2a, +∞].

Hàm số đạt cực đại bằng - Δ/4a tại x = - b/2a .

3. Vẽ đồ thị:

Giải bài tập Toán 12 | Giải Toán lớp 12

Câu 2

Cho hàm số $y = \frac{m x - 1}{2 x + m}$
Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.

Xem đáp án

Lời giải

Với mọi tham số m ta có :

Giải bài 6 trang 44 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Vậy hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

Câu 3

Cho hàm số $y = \frac{m x - 1}{2 x + m}$
Xác định m để tiệm cận đứng của đồ thị đi qua A(-1, $\sqrt{2}$ )

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:

Giải bài 6 trang 44 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

⇒ Giải bài 6 trang 44 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+ Tiệm cận đứng đi qua $A (1; \sqrt{2})$

⇔ Giải bài 6 trang 44 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

⇔ m = 2.

Vậy với m = 2 thì tiệm cận đứng của đồ thị đi qua $A (- 1, \sqrt{2})$

Câu 4

Cho hàm số $y = \frac{m x - 1}{2 x + m}$
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2.

Xem đáp án

Lời giải

Với m = 2 ta được hàm số: $y = \frac{2 x - 1}{2 x + 2}$

- TXĐ: D = R \ {-1}

- Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: Theo kết quả câu a)

Hàm số đồng biến trên (-∞ ; -1) và (-1 ; +∞)

+ Cực trị : Hàm số không có cực trị.

+ Tiệm cận:

Giải bài 6 trang 44 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

⇒ đồ thị có tiệm cận đứng là x = -1.

Lại có

Giải bài 6 trang 44 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

⇒ đồ thị có tiệm cận ngang là y = 1.

+ Bảng biến thiên:

Giải bài 6 trang 44 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

- Đồ thị:

+ Đồ thị cắt trục hoành tại (1/2 ; 0).

+ Đồ thị cắt trục tung tại (0 ; -1/2).

+ Đồ thị nhận I(-1 ; 1) là tâm đối xứng.

Giải bài 6 trang 44 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Câu 5

Cho hàm số $y = \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + m$
Với giá trị nào của tham số m, đồ thị của hàm đi qua điểm (-1; 1) ?

Xem đáp án

Lời giải

Đồ thị hàm số qua điểm (-1; 1)

Giải bài 7 trang 44 sgk Giải tích 12 | Để học tốt Toán 12

Câu 6