10 bài tập Một số bài toán ứng dụng vectơ trong thực tiễn có lời giải

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\overrightarrow F = m\overrightarrow a \Rightarrow \left| {\overrightarrow F } \right| = m\left| {\overrightarrow a } \right| = 0,5.20 = 10N\).

Vậy muốn truyền cho quả bóng có khối lượng 0,5 kg một gia tốc 20 m/s² thì cần một lực đá có độ lớn là 10 N.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

+) Với gia tốc rơi tự do \(\overrightarrow g \) có độ lớn là g = 9,8 (m/s2) thì độ lớn của trọng lực \(\overrightarrow P  = m\overrightarrow g \) tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là \(\left| {\overrightarrow P } \right| = m\left| {\overrightarrow g } \right| = 25.9,8 = 245\left( N \right)\).

+) Em nhỏ trượt từ điểm A tới điểm B nên khi đó góc giữa độ dịch chuyển \(\overrightarrow d \) so với trọng lực \(\overrightarrow P \) là \(\left( {\overrightarrow d ,\overrightarrow P } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow P } \right) = 60^\circ \).

+) Ta có độ lớn của trọng lực \(\overrightarrow P  = m\overrightarrow g \) tác dụng lên em nhỏ có độ lớn là \(\left| {\overrightarrow P } \right| = m\left| {\overrightarrow g } \right| = 25.9,8 = 245N\) nên công sinh bởi trọng lực \(\overrightarrow P \) khi em nhỏ trượt hết chiều dài cầu trượt là \(A = \left| {\overrightarrow P } \right|.\left| {\overrightarrow d } \right|.\cos \left( {\overrightarrow P ,\overrightarrow d } \right) = 245.3,5.\cos 60^\circ  = 428,75\left( J \right)\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi A₁,B₁, C₁ lần lượt là các điểm sao cho \(\overrightarrow {O{A_1}} = \overrightarrow {{F_1}} ;\overrightarrow {O{B_1}} = \overrightarrow {{F_2}} ;\overrightarrow {O{C_1}} = \overrightarrow {{F_3}} \).

Lấy các điểm D₁, A'₁,B'₁,D'₁ sao cho OA₁D₁B₁.C₁A'₁D'₁B'₁ là hình hộp (như hình vẽ).

Khi đó, áp dụng quy tắc hình hộp ta có \(\overrightarrow {O{A_1}} + \overrightarrow {O{B_1}} + \overrightarrow {O{C_1}} = \overrightarrow {O{{D'}_1}} \).

Mặt khác, do các lực căng \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) đôi một vuông góc và \[\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right| = 15\left( N \right)\] nên hình hộp OA₁D₁B₁.C₁A'₁D'₁B'₁ có ba cạnh OA₁;OB₁; OC₁ đôi một vuông góc và bằng nhau.

Vì thế hình hộp là hình lập phương có độ dài cạnh bằng 15. Suy ra độ dài đường chéo OD'₁ của hình lập phương đó là \(15\sqrt 3 \).

Do chiếc đèn ở vị trí cân bằng nên \(\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow P \), ở đó \(\overrightarrow P \) là trọng lực tác dụng lên chiếc đèn.

Suy ra trọng lượng của chiếc đèn là \(\left| {\overrightarrow P } \right| = \left| {\overrightarrow {O{{D'}_1}} } \right| = 15\sqrt 3 \;\left( N \right)\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có \(\overrightarrow P = m\overrightarrow g \) nên \(\left| {\overrightarrow P } \right| = m\left| {\overrightarrow g } \right| = 5.10 = 50\) (N).

Vậy độ lớn của trọng lực \(\overrightarrow P \) tác động lên chiếc đèn chùm là 50 N.

Gọi O là trọng tâm của chiếc đèn chùm cũng là chân đường cao hình chóp đều S.ABCD.

Vẽ \(\overrightarrow {OP} \) biểu diễn trọng lực tác động lên đèn chùm với \(OP \bot \left( {ABCD} \right)\).

Khi đó lực căng mỗi sợi xích sẽ là \(\overrightarrow {AS} ,\overrightarrow {BS} ,\overrightarrow {CS} ,\overrightarrow {DS} \).

Chiếc đèn chùm đứng yên nên \(\overrightarrow {AS} + \overrightarrow {BS} + \overrightarrow {CS} + \overrightarrow {DS} + \overrightarrow {OP} = \overrightarrow 0 \).

Suy ra \(\overrightarrow {OP} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 4\overrightarrow {SO} \)\( \Rightarrow SO = \frac{1}{4}OP = \frac{{50}}{4} = \frac{{25}}{2}\).

Tam giác SAC cân tại S có \(\cos OSA = \frac{{SO}}{{SA}}\).

Suy ra lực căng của mỗi sợi dây xích là \(SA = \frac{{SO}}{{\cos 30^\circ }} = \frac{{\frac{{25}}{2}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{25\sqrt 3 }}{3}N\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đổi 105 g = 0,105 kg.

Độ lớn của lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên quả táo là:

\(\left| {\overrightarrow P } \right| = m\left| {\overrightarrow g } \right| = 0,105.9,8 = 1,029N\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có \(\overrightarrow P = m\overrightarrow g \) nên \(P = \left| {\overrightarrow P } \right| = m.\left| {\overrightarrow g } \right| = 10\sqrt 3 \left( N \right)\).

Bóng đèn ở vị trí cân bằng nên \(\overrightarrow P + \overrightarrow {{T_1}} + \overrightarrow {{T_2}} = \overrightarrow 0 \) hay \(\overrightarrow P = - \overrightarrow {T'} \) với \(\overrightarrow {{T_1}} + \overrightarrow {{T_2}} = \overrightarrow {T'} \).

Suy ra \(T' = P = 10\sqrt 3 \left( N \right)\).

Khi đó \({\left| {\overrightarrow {T'} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{T_1}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{T_2}} } \right|^2} + 2\left| {\overrightarrow {{T_1}} } \right|\left| {\overrightarrow {{T_2}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {{T_1}} ,\overrightarrow {{T_2}} } \right)\) mà \(\left| {\overrightarrow {{T_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow {{T_2}} } \right|\) và \(\left( {\overrightarrow {{T_1}} ,\overrightarrow {{T_2}} } \right) = 60^\circ \)

\( \Rightarrow {\left| {\overrightarrow {T'} } \right|^2} = 2{\left| {\overrightarrow {{T_1}} } \right|^2} + 2{\left| {\overrightarrow {{T_1}} } \right|^2}.\cos 60^\circ = 3{\left| {\overrightarrow {{T_1}} } \right|^2}\).

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {{T_1}} } \right| = \sqrt {\frac{1}{3}{{\left| {\overrightarrow {T'} } \right|}^2}} = \sqrt {\frac{1}{3}.{{\left( {10\sqrt 3 } \right)}^2}} = 10\left( N \right) = \left| {\overrightarrow {{T_2}} } \right|\).