Giải SGK Toán 9 KNTT Bài 28. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác có đáp án

Ta có thể vẽ được một đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác và đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác.

– Tâm đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC. 

Cách vẽ đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC bằng thước kẻ và compa:

⦁ Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB: Dùng compa vẽ hai cung tròn tâm A, B có cùng bán kính, hai cung này cắt nhau tại một điểm M. Qua điểm M, dùng thước kẻ vẽ đường thẳng vuông góc với AB, ta được đường trung trực d của AB.

⦁ Tương tự, vẽ đường trung trực d’ của đoạn thẳng BC, cắt đường thẳng d tại O.

⦁ Vẽ đường tròn (O; OA). Khi đó đường tròn (O; OA) là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC cần vẽ.

– Tâm đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác ABC là giao điểm ba đường phân giác trong tam giác ABC.

Cách vẽ đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác ABC bằng thước kẻ và compa:

⦁ Vẽ tia phân giác góc B như sau: Dùng compa vẽ một cung tròn tâm B cắt hai cạnh BC, BA lần lượt tại X và Y. Vẽ hai cung tròn tâm X, Y có cùng bán kính, hai cung này cắt nhau tại một điểm Z khác B. Kẻ tia BZ ta được tia phân giác góc B.

⦁ Tương tự, vẽ tia phân giác góc C, cắt tia BZ tại I.

⦁ Vẽ đường cao ID từ I xuống BC (D thuộc BC). Vẽ đường tròn (I; ID).

Khi đó đường tròn (I; ID) là đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của tam giác ABC cần vẽ.

Vì O nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng AB nên OA = OB.

Do đó đường tròn tâm O đi qua A cũng đi qua B.

Vì O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB nên OA = OB.

Tương tự, O nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC, CA nên ta cũng có OB = OC và OC = OA.

Do đó OA = OB = OC.

Suy ra đường tròn (O; OA) đi qua ba điểm A, B, C.

Vậy đường tròn (O; OA) đi qua ba đỉnh của tam giác ABC.

Các điểm B, C, M, N cùng nằm trên đường tròn (O) nên ta có bốn tam giác nội tiếp đường tròn (O) là ∆BCM, BCN, MNB, MNC.

Vì ∆ABC vuông tại A nên AB ⊥ AC. (1)

Vì a là đường trung trực của AB nên a ⊥ AB hay MN ⊥ AB. (2)

Vì b là đường trung trực của AC nên b ⊥ AC hay MP ⊥ AC. (3)

Từ (1) và (2) suy ra MN // AC.

Từ (1) và (3) suy ra MP // AB.

Xét ∆ABC có:

⦁ N là trung điểm của AB và MN // AC nên MN là đường trung bình của tam giác.

⦁ P là trung điểm của AC và MP // AB nên MP là đường trung bình của tam giác.

Vì MN là đường trung bình của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC.

Suy ra

Lại có M thuộc đường trung trực của AB nên MA = MB.

Do đó

Vậy đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC có tâm M là bán kính

Xét ∆ABC có:

⦁ AB2 + AC2 = 42 + 32 = 25;

⦁ BC2 = 52 = 25.

Do đó AB2 + AC2 = BC2.

Suy ra tam giác ABC vuông tại A (định lí Pythagore đảo).

Theo kết quả của Hoạt động 3, trang 73, SGK Toán 9, Tập 2, ta có tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là trung điểm M của BC và bán kính của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là