Dạng 2: Phương trình cosx=b

Thi Online Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 2: Phương trình lượng giác cơ bản có đáp án

Dạng 2: Phương trình cosx=b

1858 lượt thi
10 câu hỏi
45 phút

Câu 1:

Giải phương trình $2 \cos (2 x + \frac{π}{6}) = \sqrt{2}$

$(1) \Leftrightarrow \cos (2 x + \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow \cos (2 x + \frac{π}{6}) = \cos \frac{π}{4} \Leftrightarrow 2 x + \frac{π}{6} = \pm \frac{π}{4} + k 2 π (k \in ℤ)$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x + \frac{π}{6} = \frac{π}{4} + k 2 π \\ 2 x + \frac{π}{6} = - \frac{π}{4} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x = \frac{π}{12} + k 2 π \\ 2 x = \frac{- 5 π}{12} + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{24} + k π \\ x = \frac{- 5 π}{24} + k π \end{array}$

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $[\begin{array}{l} x = \frac{π}{24} + k π \\ x = \frac{- 5 π}{24} + k π \end{array}$ .

Câu 2:

Giải phương trình $\cos (2 x + \frac{π}{3}) - \sin 5 x = 0$

Xem đáp án

$(2) \Leftrightarrow \cos (2 x + \frac{π}{3}) = \sin 5 x \Leftrightarrow \cos (2 x + \frac{π}{3}) = \cos (\frac{π}{2} - 5 x)$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} 2 x + \frac{π}{3} = \frac{π}{2} - 5 x + k 2 π \\ 2 x + \frac{π}{3} = - \frac{π}{2} + 5 x + k 2 π \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{42} + \frac{k 2 π}{7} \\ x = \frac{5 π}{18} - \frac{2 k π}{3} \end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $[\begin{array}{l} x = \frac{π}{42} + \frac{k 2 π}{7} \\ x = \frac{5 π}{18} - \frac{2 k π}{3} \end{array}$ .

Câu 3:

Cho phương trình $\cos (x + π) = \frac{m + 2}{m - 1}$ , m là tham số. Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.

Xem đáp án

Phương trình $\cos (x + π) = \frac{m + 2}{m - 1}$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ$ , $m \neq 1$ .

Ta có $- 1 \leq \cos (x + π) \leq 1 \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 1 \leq \frac{m + 2}{m - 1} \\ \frac{m + 2}{m - 1} \leq 1 \end{cases}$ .

Giải (1). Ta có $- 1 \leq \frac{m + 2}{m - 1} \Leftrightarrow \frac{2 m + 1}{m - 1} \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m > 1 \\ m \leq \frac{- 1}{2} \end{array}$ .

Giải (2). Ta có $\frac{m + 2}{m - 1} \leq 1 \Leftrightarrow \frac{3}{m - 1} \leq 0 \Leftrightarrow m - 1 < 0 \Leftrightarrow m < 1$ .

Kết hợp nghiệm ta có $m \leq - \frac{1}{2}$ .

Vậy với $m \leq - \frac{1}{2}$ thì phương trình đã cho có nghiệm.

Câu 4:

Phương trình $2 \cos x + \sqrt{2} = 0$ có nghiệm là

A. $[\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + k 2 π \\ x = \frac{3 π}{4} + k 2 π \end{array}$ $k \in ℤ$ ,

B. $[\begin{array}{l} x = \frac{3 π}{4} + k 2 π \\ x = \frac{- 3 π}{4} + k 2 π \end{array}$ , $k \in ℤ$

C. $[\begin{array}{l} x = \frac{5 π}{4} + k 2 π \\ x = \frac{- 5 π}{4} + k 2 π \end{array}$ , $k \in ℤ$

D. $[\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + k 2 π \\ x = \frac{- π}{4} + k 2 π \end{array}$ , $k \in ℤ$

Xem đáp án

Đáp án B

Phương trình $2 \cos x + \sqrt{2} = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ$ .

Ta có $2 \cos x + \sqrt{2} = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{- \sqrt{2}}{2}$ .

Do $\cos \frac{3 π}{4} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$ nên $\cos x = \frac{- \sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{3 π}{4} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{3 π}{4} + k 2 π \\ x = \frac{- 3 π}{4} + k 2 π \end{array}$ $(k \in ℤ)$ .

Câu 5:

Phương trình $2 \cos \frac{x}{2} + \sqrt{3} = 0$ có nghiệm là

x = \pm \frac{5 π}{3} + k 2 π, k \in ℤ

x = \pm \frac{5 π}{6} + k 2 π, k \in ℤ

x = \pm \frac{5 π}{6} + k 4 π, k \in ℤ

x = \pm \frac{5 π}{3} + k 4 π, k \in ℤ

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình $2 \cos \frac{x}{2} + \sqrt{3} = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ$ .

Ta có $2 \cos \frac{x}{2} + \sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow \cos \frac{x}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$ .

Do $\cos \frac{5 π}{6} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$ nên $\cos \frac{x}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow \cos \frac{x}{2} = \cos \frac{5 π}{6} \Leftrightarrow x = \pm \frac{5 π}{3} + k 4 π$ , $(k \in ℤ)$ .