Sử dụng các định nghĩa, tính chất về khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, hai đường thẳng chéo nhau, đường thẳng và mặt phẳng song song, nhận thấy các phương án A, B, D đúng.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là khoảng cách từ một điểm M thuộc đường thẳng b đến mặt phẳng (P) chứa a và song song với b chứ không phải khoảng cách giữa hai điểm như đáp án C nói nên C sai.

Đáp án C

Đáp án A: đúng

Đáp án B: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố cắt nhau.

Đáp án C: Sai, vì mặt phẳng đó chưa chắc đã tồn tại.

Đáp án D: Sai, do phát biểu này thiếu yếu tố vuông góc.

ĐÁP ÁN A

Ta có: $AA\text{'}\perp AD$ tại A; $AA\text{'}\perp A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ tại A’

Do đó đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AD và A’C’ là AA’.

Đáp án A

+ Ta có $\left.\begin{array}{l}DB\perp AC\\ DB\perp SA\end{array}\right\}\Rightarrow DB\perp \left(SAC\right)\Rightarrow DB\perp SO$ tại O

 Hình chiếu vuông góc của SD lên mặt phẳng (SAC) là SO

Do đó góc giữa SD và (SAC) là $\widehat{DSO}=30°$

+ Đặt DO = x $\Rightarrow$ DB = 2x; AO = BO = CO = x

Ta có: $\Delta SAB=\Delta SAD\left(c.g.c\right)$ nên SB = SD $\Rightarrow$ Tam giác SBD cân tại S, mà có O là trung điểm BC $\Rightarrow \widehat{ DSB}=2\widehat{DSO}=60°$ 

Tam giác SBD đều $\Rightarrow$ SO = 2x $\frac{\sqrt{3}}{2}$= x$\sqrt{3}$

Theo Py-ta-go trong tam giác SOA vuông tại A, ta có: $S{O}^2=A{O}^2+S{A}^2$

hay $3x^2 = x^2+\hspace{0.17em}{a}^2\iff x^2= a^2/ 2$

$\Rightarrow$x =$\frac{a}{\sqrt{2}}$

+ Gọi N là trung điểm của AB $\Rightarrow$DN // BM

Suy ra d(D; (SBM)) = d(N;(SBM)) = 1/2 d(A; (SBM))

+ Kẻ AI $\perp$BM tại I và AH $\perp$ SI tại H. Từ đó ta chứng minh được AH $\perp$ (SBM)

 $\Rightarrow$ d(A; (SBM)) = AH $\Rightarrow$ d(D; (SBM)) = 1/2 AH.

+ Tính AH

$BM = \sqrt{B{C}^2 +\hspace{0.17em}C{M}^2}= \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Trong (ABCD): $S_{ABM}=S_{ABCD}-2S_{ADM}=a^2-2.\frac{a^2}{4}=\frac{a^2}{2}$

Mà $S_{ABM}=\frac{1}{2}$AI. BM  $\Rightarrow$AI = $\frac{2a}{\sqrt{5}}$

Áp dụng hệ thức về cạnh, đường cao trong tam giác vuông SAI có:

   $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{I}^2}+\frac{1}{S{A}^2}\Rightarrow$AH = $\frac{2a}{3}$

Vậy d(D; (SBM)) = 1/2. AH = $\frac{a}{3}$

Đáp án A

Sau khi xếp miếng bìa lại ta được hình lập phương ABCD.A’B’C’D' cạnh 2a, O là tâm của A’B’C’D’.

Gọi N, M lần lượt là trung điểm các cạnh AB, A’B’.

$\Rightarrow$MN = AA’ = 2a, OM = 1/2A’D’ = a

Lại có: $\left\{\begin{array}{l}AB\perp OM\\ AB\perp MN\text{}\end{array}\right.\Rightarrow AB\perp ON$

$\Rightarrow$d(O, AB) = ON = $\sqrt{O{M}^2+M{N}^2}=\sqrt{{\left(2a\right)}^2+a^2}=a\sqrt{5}$.

Đáp án D