Dạng 2: Phương trình bậc hai của một hàm số lượng giác

Thi Online Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp có đáp án

Dạng 2: Phương trình bậc hai của một hàm số lượng giác

1987 lượt thi
21 câu hỏi
45 phút

Câu 1:

Giải phương trình $3 \sin^{2} 2 x + 7 c o s 2 x - 3 = 0.$

Ta có $3 \sin^{2} 2 x + 7 c o s 2 x - 3 = 0 \Leftrightarrow 3 (1 - c o s^{2} 2 x) + 7 \cos 2 x - 3 = 0$

$\Leftrightarrow 3 c o s^{2} 2 x - 7 \cos 2 x = 0 \Leftrightarrow \cos 2 x (3 \cos 2 x - 7) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} \cos 2 x = 0 \\ 3 \cos 2 x - 7 = 0 \end{array} .$

Trường hợp 1: $\cos 2 x = 0 \Leftrightarrow 2 x = \frac{π}{2} + k π \Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k \frac{π}{2}, (k \in ℤ) .$

Trường hợp 2: $3 \cos 2 x - 7 = 0 \Leftrightarrow \cos 2 x = \frac{7}{3} > 1$ (loại).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x = \frac{π}{4} + k \frac{π}{2}, (k \in ℤ) .$

Câu 2:

Phương trình $2 \sin^{2} x + \sin x - 3 = 0$ có nghiệm là

k π (k \in ℤ) .

- \frac{π}{2} + k π (k \in ℤ) .

\frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ) .

- \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ) .

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình $2 \sin^{2} x + \sin x - 3 = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Rightarrow D = ℝ .$

Đặt $t = \sin x, |t| \leq 1.$ Ta có $2 \sin^{2} x + \sin x - 3 = 0 \Leftrightarrow 2 t^{2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = \frac{- 3}{2} \end{array} \Leftrightarrow t = 1$ (do ).

Với

t = 1,

ta có

\sin x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ) .

Câu 3:

Với $k \in ℤ$ , phương trình $\cos^{2} x + 2 \cos x - 3 = 0$ có nghiệm là

x = k 2 π .

B. x=0

x = \frac{π}{2} + k 2 π .

D. Vô nghiệm

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình $\cos^{2} x + 2 \cos x - 3 = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Rightarrow D = ℝ .$

Đặt $t = \cos x, |t| \leq 1.$ Ta có $\cos^{2} x + 2 \cos x - 3 = 0 \Leftrightarrow t^{2} + 2 t - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - 3 \end{array} \Leftrightarrow t = 1$ (do $|t| \leq 1$ ).

Với $t = 1,$ ta có $\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k 2 π (k \in ℤ) .$

Câu 4:

Nghiệm dương bé nhất của phương trình $2 \sin^{2} x + 5 \sin x - 3 = 0$ là

x = \frac{π}{6} .

x = \frac{π}{2} .

x = \frac{3 π}{2} .

x = \frac{5 π}{6} .

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình $2 \sin^{2} x + 5 \sin x - 3 = 0$ có nghĩa

Đặt $t = \sin x, |t| \leq 1.$ Ta có $2 \sin^{2} x + 5 \sin x - 3 = 0 \Leftrightarrow 2 t^{2} + 5 t - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = \frac{1}{2} \\ t = - 3 \end{array} \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}$ (do $|t| \leq 1$ ).

Với $t = \frac{1}{2},$ ta có $\sin x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{6} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{6} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ) .$

Vậy nghiệm dương bé nhất của phương trình là $x = \frac{π}{6} .$

Câu 5:

Xét phương trình $3 \cos^{2} x - 2 \cos x - 4 = 0$ trên đoạn $[0; 3 π] .$ Chọn câu trả lời đúng.

A. Phương trình có 3 nghiệm.

B. Phương trình có 4 nghiệm

C. Phương trình có 2 nghiệm.

D. Phương trình vô nghiệm.

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình $3 \cos^{2} x - 2 \cos x - 4 = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Rightarrow D = ℝ .$

Đặt $t = \cos x, |t| \leq 1.$

Ta có $3 \cos^{2} x - 2 \cos x - 4 = 0 \Leftrightarrow 3 t^{2} - 2 t - 4 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = \frac{1 - \sqrt{13}}{3} \\ t = \frac{1 + \sqrt{13}}{3} \end{array} \Leftrightarrow t = \frac{1 - \sqrt{13}}{3}$ (do $|t| \leq 1$ ).

Với $t = \frac{1 - \sqrt{13}}{3},$ ta có $\cos x = \frac{1 - \sqrt{13}}{3} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \arccos \frac{1 - \sqrt{13}}{3} + k 2 π \\ x = - \arccos \frac{1 - \sqrt{13}}{3} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ) .$