Dạng 3: Chứng minh đẳng thức đạo hàm, tìm giới hạn, giải phương trình và bất phương trình chứa đạo hàm.

Thi Online Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm có đáp án

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức đạo hàm, tìm giới hạn, giải phương trình và bất phương trình chứa đạo hàm.

2149 lượt thi
33 câu hỏi
60 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Câu 1:

Cho hàm số $y = - 3 x^{3} + 25 x - 20$ .

Giải phương trình $y^{'} = 0$ .

Xem đáp án

Ta có: $y^{'} = - 9 x^{2} + 25.$

$y^{'} = 0 \Leftrightarrow - 9 x^{2} + 25 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \frac{5}{3}$ .

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt $x = - \frac{5}{3}$ và $x = \frac{5}{3}$

Câu 2:

Tính $A = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 - x} - 1}{x}$ .

Xem đáp án

Đặt $f (x) = \sqrt[3]{1 - x} \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{- 1}{3 \sqrt[3]{{(1 - x)}^{2}}}$ và $f (0) = 1$ .

Suy ra $A = \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = f^{'} (0) = - \frac{1}{3}$ .

Câu 3:

Cho hàm số $f (x) = \sqrt{x + \sqrt{1 + x^{2}}}$ . Chứng minh rằng $2 \sqrt{1 + x^{2}} . y^{'} = y$ .

Xem đáp án

$y^{'} = {(\sqrt{x + \sqrt{1 + x^{2}}})}^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x + \sqrt{1 + x^{2}}}} . {(x + \sqrt{1 + x^{2}})}^{'} = \frac{1}{2 \sqrt{x + \sqrt{1 + x^{2}}}} . (1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}})$

$= \frac{1}{2 \sqrt{x + \sqrt{1 + x^{2}}}} . \frac{\sqrt{1 + x^{2}} + x}{\sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{\sqrt{\sqrt{1 + x^{2}} + x}}{2 \sqrt{1 + x^{2}}} = \frac{y}{2 \sqrt{1 + x^{2}}} \Rightarrow 2 \sqrt{1 + x^{2}} . y^{'} = y .$

Câu 4:

Cho hàm số $f (x) = \sqrt{x^{2} - 2 x}$ . Giải bất phương trình $f^{'} (x) \leq f (x)$ .

Xem đáp án

Ta có $f^{'} (x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2 x}}$ . Khi đó $f^{'} (x) \leq f (x) \Leftrightarrow \frac{x - 1}{\sqrt{x^{2} - 2 x}} \leq \sqrt{x^{2} - 2 x} (1)$

Điều kiện xác định: $x \in (- \infty; 0) \cup (2; + \infty)$ .

$(1) \Rightarrow x - 1 \leq x^{2} - 2 x \Leftrightarrow x^{2} - 3 x + 1 \geq 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x \geq \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \\ x \leq \frac{3 - \sqrt{5}}{2} \end{array}$

Kết hợp với điều kiện trên suy ra $x < 0$ hoặc $x \geq \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ .

Câu 5:

Cho hàm số $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - m x^{2} + (m + 2) x - 7$ . Tìm giá trị của tham số m để $f^{'} (x) \geq 0$ với mọi $x \in ℝ$ .

Xem đáp án

Ta có $f^{'} (x) = x^{2} - 2 m x + m + 2$

$f^{'} (x) \geq 0, \forall x \in ℝ \Leftrightarrow x^{2} - 2 m x + m + 2 \geq 0, \forall x \in ℝ$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 1 > 0 \\ Δ^{'} = m^{2} - (m + 2) \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow m^{2} - m - 2 \leq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 2$