Dạng 4. Phương trình lượng giác đối xứng

Thi Online Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 3: Một số phương trình lượng giác thường gặp có đáp án

Dạng 4. Phương trình lượng giác đối xứng

1986 lượt thi
22 câu hỏi
60 phút

Câu 1:

Giải phương trình sinx-cosx+14sinxcosx=1

Đặt $t = \sin x - \cos x (- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}) \Rightarrow \sin x \cos x = \frac{1 - t^{2}}{2} .$

Khi đó phương trình (1) trở thành $t + 7 (1 - t^{2}) = 1 \Leftrightarrow 7 t^{2} - t - 6 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - \frac{6}{7} \end{array} .$

- Nếu $t = 1$ thì $\sin x - \cos x = 1 \Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{4}) = \sin \frac{π}{4} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{2} + k 2 π \\ x = π + k 2 π \end{array} (k \in ℤ) .$

- Nếu $t = - \frac{6}{7}$ thì $\sin x - \cos x = \frac{- 6}{7}$

$\Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{- 3 \sqrt{2}}{7} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{π}{4} + \arcsin \frac{- 3 \sqrt{2}}{7} + k 2 π \\ x = \frac{5 π}{4} - \arcsin \frac{- 3 \sqrt{2}}{7} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ) .$

Vậy phương trình đã cho có 4 họ nghiệm $x = \frac{π}{2} + k 2 π; x = π + k 2 π$

$x = \frac{π}{4} + \arcsin \frac{- 3 \sqrt{2}}{7} + k 2 π; x = \frac{5 π}{4} - \arcsin \frac{- 3 \sqrt{2}}{7} + k 2 π (k \in ℤ) .$

Câu 2:

Giải phương trình $\sin^{3} x + \cos^{3} x + 1 = \frac{3}{2} \sin 2 x . (2)$

Xem đáp án

$(2) \Leftrightarrow 1 + (\sin x + \cos x) (\sin^{2} x - \sin x \cos x + \cos^{2} x) = 3 \sin x \cos x$

$\Leftrightarrow 1 + (\sin x + \cos x) (1 - \sin x \cos x) = 3 \sin x \cos x . (*)$

Đặt $t = \sin x + \cos x (- \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}) \Rightarrow \sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2} .$

Khi đó phương trình (*) trở thành $1 + t (1 - \frac{t^{2} - 1}{2}) = 3. \frac{t^{2} - 1}{2}$

$\Leftrightarrow t^{3} + 3 t^{2} - 3 t - 5 = 0 \Leftrightarrow (t + 1) (t^{2} + 2 t - 5) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 \\ t = - 1 - \sqrt{6} < - \sqrt{2} \\ t = - 1 + \sqrt{6} > \sqrt{2} \end{array} \Rightarrow t = - 1.$

Suy ra $\sin x + \cos x = - 1 \Leftrightarrow \sqrt{2} c o s (x - \frac{π}{4}) = - 1$

$\Leftrightarrow c o s (x - \frac{π}{4}) = c o s \frac{3 π}{4} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = π + k 2 π \\ x = \frac{- π}{2} + k 2 π \end{array} (k \in ℤ) .$

Vậy phương trình đã cho có 2 họ nghiệm $x = π + k 2 π; x = \frac{- π}{2} + k 2 π (k \in ℤ) .$

Câu 3:

Cho phương trình $- \sqrt{2} (\sin x + \cos x) + 2 \sin x \cos x + 1 = 0$ . Đặt $t = \sin x + \cos x,$ ta được phương trình nào dưới đây?

t^{2} + \sqrt{2} t = 0.

t^{2} + \sqrt{2} t + 2 = 0.

t^{2} - \sqrt{2} t = 0.

t^{2} - \sqrt{2} t - 2 = 0.

Xem đáp án

Đáp án C

Phương trình $- \sqrt{2} (\sin x + \cos x) + 2 \sin x \cos x + 1 = 0 (1)$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Đặt $t = \sin x + \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) .$

Ta có

\sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2} \Rightarrow (1) \Leftrightarrow t^{2} - \sqrt{2} t = 0.

Câu 4:

Nếu $(1 + \sin x) (1 + \cos x) = 2$ thì $c o s (x - \frac{π}{4})$ nhận giá trị là

A. -1

B. 1.

- \frac{\sqrt{2}}{2} .

\frac{\sqrt{2}}{2} .

Xem đáp án

Đáp án D

Phương trình $(1 + \sin x) (1 + \cos x) = 2$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $(1 + \sin x) (1 + \cos x) = 2 \Leftrightarrow \cos x + \sin x + \sin x \cos x = 1.$

Đặt $t = \sin x + \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) .$

Ta có $\sin x \cos x = \frac{t^{2} - 1}{2} (1) \Rightarrow t^{2} + 2 t - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 1 \\ t = - 3 \end{array} .$

Do $|t| \leq \sqrt{2}$ nên $t = 1.$

Với $t = 1,$ ta có $t = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \cos (x - \frac{π}{4}) = 1 \Leftrightarrow \cos (x - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

Câu 5:

Phương trình sinx-cosx+2sin2x+1=0 có nghiệm là

[\begin{array}{l} x = k 2 π \\ x = \frac{3 π}{2} + k 2 π \end{array}, k \in ℤ .

[\begin{array}{l} x = k π \\ x = \frac{3 π}{2} + k π \end{array}, k \in ℤ .

x = \frac{3 π}{2} + k 2 π, k \in ℤ .

D. Vô nghiệm.

Xem đáp án

Đáp án A

Phương trình $\sin x - \cos x + 2 \sin 2 x + 1 = 0$ có nghĩa $\forall x \in ℝ \Leftrightarrow D = ℝ .$

Ta có $\sin x - \cos x + 2 \sin 2 x + 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x - \cos x + 4 \sin x \cos x + 1 = 0. (1)$

Đặt $t = \sin x - \cos x, (|t| \leq \sqrt{2}) .$

Ta có $\sin x \cos x = \frac{1 - t^{2}}{2} \Rightarrow (1) \Leftrightarrow t + 2 (1 - t^{2}) + 1 = 0 \Leftrightarrow 2 t^{2} - t - 3 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = - 1 \\ t = \frac{3}{2} \end{array} .$

Do $|t| \leq \sqrt{2}$ nên $t = - 1.$

Với $t = - 1,$ ta có $t = \sin x - \cos x = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) = - 1 \Leftrightarrow \sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin \frac{- π}{4}$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x - \frac{π}{4} = - \frac{π}{4} + k 2 π \Leftrightarrow x = k 2 π \\ x - \frac{π}{4} = π - \frac{- π}{4} + k 2 π \Leftrightarrow x = \frac{3 π}{2} + k 2 π \end{array}, k \in ℤ .$