Dạng 5: Tìm giới hạn một bên và giới hạn vô cùng có đáp án

Thi Online Bài tập chuyên đề toán 11 Bài 2: Giới hạn hàm số có đáp án

Dạng 5: Tìm giới hạn một bên và giới hạn vô cùng có đáp án

1993 lượt thi
31 câu hỏi
50 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Câu 1:

Tìm giới hạn $\lim_{x \to 3^{-}} \frac{|x - 3|}{5 x - 1}$ .

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Do $x \to 3^{-} \Rightarrow x < 3$ , như vậy $|x - 3| = - x + 3$ .

Ta có $\lim_{x \to 3^{-}} \frac{|x - 3|}{5 x - 1} = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{- x + 3}{5 x - 15} = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{- 1}{5} = \frac{- 1}{5}$ .

Câu 2:

Cho hàm số

$f (x) = \{\begin{cases} 5 x^{4} - 6 x^{2} - x khi x \geq 1 \\ - x^{3} + 3 x khi x < 1 \end{cases}$ Tính giới hạn

$K = \lim_{x \to 1} f (x)$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (- x^{3} + 3 x) = - 1 + 3 = 2$ ;

$\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (5 x^{4} - 6 x^{2} - x) = - 2$

Do $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) \neq \lim_{x \to 1^{+}} f (x)$ nên không tồn tại $\lim_{x \to 1} f (x)$

Câu 3:

Tính giới hạn $\lim_{x \to 2} \frac{|x^{2} - 3 x + 2|}{x - 2}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{|(x - 2) (x - 1)|}{x - 2} = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{(x - 2) (x - 1)}{x - 2}$

$= \lim_{x \to 2^{+}} (x - 1) = 1$ .

$\lim_{x \to 2^{+}} \frac{|(x - 2) (x - 1)|}{x - 2} = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{- (x - 2) (x - 1)}{x - 2}$ .

$= \lim_{x \to 2^{+}} (1 - x) = - 1$

$\Rightarrow \lim_{x \to 2^{-}} \frac{|(x - 2) (x - 1)|}{x - 2} \neq \lim_{x \to 2^{+}} \frac{|(x - 2) (x - 1)|}{x - 2}$

Vậy không tồn tại $\lim_{x \to 2} \frac{|x^{2} - 3 x + 2|}{x - 2}$ .

Câu 4:

Tìm giới hạn $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x + \sqrt{x}}{x - \sqrt{x}}$

Xem đáp án

Ta có: $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x + \sqrt{x}}{x - \sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x} (2 \sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{1}{- 1} = - 1$

Câu 5:

Tìm giới hạn $\lim_{x \to {(- 1)}^{+}} \frac{x^{2} + 4 x + 3}{\sqrt{x^{3} + x^{2}}}$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim_{x \to {(- 1)}^{+}} \frac{x^{2} + 4 x + 3}{\sqrt{x^{3} + x^{2}}} = \lim_{x \to {(- 1)}^{+}} \frac{(x + 1) (x + 3)}{\sqrt{x^{2} (x + 1)}} = \lim_{x \to {(- 1)}^{+}} \frac{\sqrt{x + 1} (x + 3)}{\sqrt{x^{2}}} = \frac{0}{1} = 0$ .

Một bài toán về định lí tồn tại giới hạn $\lim_{x \to x_{0}} f (x) = L \Leftrightarrow \lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = \lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = L$ .