31 câu Dạng 5: Tìm giới hạn một bên và giới hạn vô cùng có đáp án

30 người thi tuần này 4.6 7 K lượt thi 31 câu hỏi 50 phút

🔥 Học sinh cũng đã học

170 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2026-2027 THPT Việt Đức (Hà Nội) có đáp án

530 lượt thi 21 câu hỏi

72 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2026-2027 THCS&THPT Tạ Quang Bửu (Hà Nội) có đáp án

432 lượt thi 21 câu hỏi

118 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2026-2027 THCS&THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm (Hà Nội) có đáp án

478 lượt thi 22 câu hỏi

82 người thi tuần này

Trắc nghiệm Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập lớp 11 (có đúng sai, trả lời ngắn)

1.6 K lượt thi 20 câu hỏi

76 người thi tuần này

Trắc nghiệm Công thức cộng xác suất lớp 11 (có đúng sai, trả lời ngắn)

2.4 K lượt thi 20 câu hỏi

215 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT Phùng Khắc Khoan (Thạch Thất-Hà Nội) có đáp án - mã đề 2345

3 K lượt thi 21 câu hỏi

100 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT Phùng Khắc Khoan (Thạch Thất-Hà Nội) có đáp án - mã đề 0123

2.9 K lượt thi 21 câu hỏi

76 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT Vạn Xuân (Hoài Đức-Hà Nội) có đáp án - Đề chẵn

2.9 K lượt thi 21 câu hỏi

Danh sách câu hỏi:

Câu 1/31

Tìm giới hạn $\lim_{x \to 3^{-}} \frac{|x - 3|}{5 x - 1}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Do $x \to 3^{-} \Rightarrow x < 3$ , như vậy $|x - 3| = - x + 3$ .

Ta có $\lim_{x \to 3^{-}} \frac{|x - 3|}{5 x - 1} = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{- x + 3}{5 x - 15} = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{- 1}{5} = \frac{- 1}{5}$ .

Câu 2/31

Cho hàm số

$f (x) = \{\begin{cases} 5 x^{4} - 6 x^{2} - x khi x \geq 1 \\ - x^{3} + 3 x khi x < 1 \end{cases}$ Tính giới hạn

$K = \lim_{x \to 1} f (x)$

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (- x^{3} + 3 x) = - 1 + 3 = 2$ ;

$\lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (5 x^{4} - 6 x^{2} - x) = - 2$

Do $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) \neq \lim_{x \to 1^{+}} f (x)$ nên không tồn tại $\lim_{x \to 1} f (x)$

Câu 3/31

Tính giới hạn $\lim_{x \to 2} \frac{|x^{2} - 3 x + 2|}{x - 2}$

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim_{x \to 2^{+}} \frac{|(x - 2) (x - 1)|}{x - 2} = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{(x - 2) (x - 1)}{x - 2}$

$= \lim_{x \to 2^{+}} (x - 1) = 1$ .

$\lim_{x \to 2^{+}} \frac{|(x - 2) (x - 1)|}{x - 2} = \lim_{x \to 2^{+}} \frac{- (x - 2) (x - 1)}{x - 2}$ .

$= \lim_{x \to 2^{+}} (1 - x) = - 1$

$\Rightarrow \lim_{x \to 2^{-}} \frac{|(x - 2) (x - 1)|}{x - 2} \neq \lim_{x \to 2^{+}} \frac{|(x - 2) (x - 1)|}{x - 2}$

Vậy không tồn tại $\lim_{x \to 2} \frac{|x^{2} - 3 x + 2|}{x - 2}$ .

Câu 4/31

Tìm giới hạn $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x + \sqrt{x}}{x - \sqrt{x}}$

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x + \sqrt{x}}{x - \sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sqrt{x} (2 \sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{1}{- 1} = - 1$

Câu 5/31

Tìm giới hạn $\lim_{x \to {(- 1)}^{+}} \frac{x^{2} + 4 x + 3}{\sqrt{x^{3} + x^{2}}}$

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim_{x \to {(- 1)}^{+}} \frac{x^{2} + 4 x + 3}{\sqrt{x^{3} + x^{2}}} = \lim_{x \to {(- 1)}^{+}} \frac{(x + 1) (x + 3)}{\sqrt{x^{2} (x + 1)}} = \lim_{x \to {(- 1)}^{+}} \frac{\sqrt{x + 1} (x + 3)}{\sqrt{x^{2}}} = \frac{0}{1} = 0$ .

Một bài toán về định lí tồn tại giới hạn $\lim_{x \to x_{0}} f (x) = L \Leftrightarrow \lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = \lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = L$ .

Câu 6/31

Tìm $\lim_{x \to 1} f (x)$ với $f (x) = \{\begin{cases} x - 3 khi x \leq 1 \\ 1 - \sqrt{7 x^{2} + 2} khi x > 1 \end{cases}$

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Ta có $\{\begin{cases} \lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{-}} (x - 3) = - 2 \\ \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} (1 - \sqrt{7 x^{2} + 2}) = - 2 \end{cases}$ .

Do $\lim_{x \to 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to 1^{+}} f (x) = - 2$ nên $\lim_{x \to 1} f (x) = - 2$ .

Sau đây ta sẽ xét một số bài tập về kết quả giới hạn một phía bằng vô cùng.

Câu 7/31

Tìm giới hạn $L = \lim_{x \to 2^{-}} (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4})$

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

$L = \lim_{x \to 2^{-}} (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{x^{2} - 4}) = \lim_{x \to 2^{-}} (\frac{1}{x - 2} - \frac{1}{(x - 2) (x + 2)})$ .

$= \lim_{x \to 2^{-}} \frac{x + 2 - 1}{(x - 2) (x + 2)} = \lim_{x \to 2^{-}} \frac{x + 1}{(x - 2) (x + 2)}$

Ta có $\lim_{x \to 2^{-}} (x - 2) = 0$ và $x \to 2^{-} \Rightarrow x < 2 \Rightarrow x - 2 < 0$

Mặt khác $\lim_{x \to 2^{-}} \frac{x + 1}{x + 2} = \frac{3}{4} > 0$ .

Kết luận $L = - \infty$ .

Câu 8/31

Tìm $\lim_{x \to - 3^{+}} \frac{x + \sqrt{x + 12}}{{(x + 3)}^{2}}$

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

$L = \lim_{x \to - 3^{+}} \frac{x + \sqrt{x + 12}}{{(x + 3)}^{2}} = \lim_{x \to - 3^{+}} \frac{x^{2} - x - 12}{{(x + 3)}^{2} (x - \sqrt{x + 12})} = \lim_{x \to - 3^{+}} \frac{(x - 4)}{(x + 3) (x - \sqrt{x + 12})}$

Ta có $\lim_{x \to - 3^{+}} \frac{(x - 4)}{(x - \sqrt{x + 12})} = \frac{7}{6}$ .

Mặt khác $\lim_{x \to - 3^{+}} (x + 3) = 0$ và $x \to - 3^{+} \Rightarrow x > - 3 \Rightarrow x + 3 > 0$ .

Kết luận $L = + \infty$

Câu 9/31