Dạng 4. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Thi Online Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm có đáp án

Dạng 4. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

2137 lượt thi
50 câu hỏi
90 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Câu 1:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C) : y = x^{3} + 2 x^{2}$ tại điểm $M (1; 3)$

Xem đáp án

Tập xác định: $D = ℝ$

Ta có: $y^{'} = 3 x^{2} + 4 x \Rightarrow k = y^{'} (1) = 7$ .

Phương trình tiếp tuyến tại $M (1; 3)$ là $d : y = {y^{'}}_{0} (x - x_{0}) + y_{0} \Leftrightarrow y = 7 (x - 1) + 3$

\Leftrightarrow y = 7 x - 4

Câu 2:

Cho điểm M thuộc đồ thị $(C) : y = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ và có hoành độ bằng – 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M.

Xem đáp án

Tập xác định $D = ℝ \ \{1\}$ .

Ta có: $x_{0} = - 1 \Rightarrow y_{0} = y (- 1) = \frac{1}{2}$ và $y^{'} = \frac{- 3}{{(x - 1)}^{2}} \Rightarrow k = y^{'} (- 1) = \frac{- 3}{4}$ .

Phương trình tiếp tuyến tại M là

y = - \frac{3}{4} (x + 1) + \frac{1}{2} \Leftrightarrow y = - \frac{3 x}{4} - \frac{1}{4}

Câu 3:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = \frac{2 x + 1}{x - 5}$ tại giao điểm với trục hoành

Xem đáp án

Tập xác định $D = ℝ \ \{5\} .$ .

Tọa độ giao điểm với trục hoành $y = 0 \Leftrightarrow \frac{2 x + 1}{x - 5} = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}$ .

Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x = - \frac{1}{2}$ là $y = y^{'} (- \frac{1}{2}) (x + \frac{1}{2}) + y (- \frac{1}{2}) = - \frac{4}{11} (x + \frac{1}{2}) = - \frac{4}{11} x - \frac{2}{11} .$

Câu 4:

Gọi $M (x_{M}; y_{M})$ là một điểm thuộc $(C) : y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ , biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm (khác M). Tìm giá trị nhỏ nhất $P = 5 x_{M}^{2} + x_{N}^{2}$ .

Xem đáp án

Tập xác định $D = ℝ$ .

Ta có $y = x^{3} - 3 x^{2} + 2 \Rightarrow y^{'} = 3 x^{2} - 6 x$ .

Gọi $M (x_{M}; y_{M})$ là một điểm thuộc $(C) : y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ , suy ra tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình là $y = (3 x_{M}^{2} - 6 x_{M}) (x - x_{M}) + x_{M}^{3} - 3 x_{M}^{2} + 2$ .

Tiếp tuyến của (C) tại M cắt (C) tại điểm $N (x_{N}; y_{N})$ (khác M) nên $x_{M}, x_{N}$ là nghiệm của phương trình:

$x^{3} - 3 x^{2} + 2 = (3 x_{M}^{2} - 6 x_{M}) (x - x_{M}) + x_{M}^{3} - 3 x_{M}^{2} + 2$ .

$\Leftrightarrow (x^{3} - x_{M}^{3}) - 3 (x^{2} - x_{M}^{2}) - (3 x_{M}^{2} - 6 x_{M}) (x - x_{M}) = 0$

$\Leftrightarrow {(x - x_{M})}^{2} (x + 2 x_{M} - 3) = 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = x_{M} \\ x = - 2 x_{M} + 3 \end{array}$

$\Rightarrow x_{N} = - 2 x_{M} + 3$

Khi đó $P = 5 x_{M}^{2} + x_{N}^{2} = 5 x_{M}^{2} + {(- 2 x_{M} + 3)}^{2} = 9 x_{M}^{2} - 12 x_{M} + 9 \geq 9 {(x_{M} - \frac{2}{3})}^{2} + 5$

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 5 khi $x_{M} = \frac{2}{3} .$

Câu 5:

Cho hàm số $y = \frac{x + 1}{x - 2}$ có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm $M (1; - 2)$ lần lượt cắt hai trục tọa độ tại A và B. Tính diện tích tam giác OAB.

Xem đáp án

Tập xác định: $D = ℝ \ \{2\}$ .

Ta có: $y^{'} = \frac{- 3}{{(x - 2)}^{2}} \Rightarrow y^{'} (1) = - 3$ .

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm $M (1; - 2)$ là đường thẳng $(Δ)$ có dạng:

$y = y^{'} (1) (x - 1) + y (1) = - 3 (x - 1) - 2 \Leftrightarrow y = - 3 x + 1$

Suy ra

(Δ) \cap O x = A (\frac{1}{3}; 0); (Δ) \cap O y = B (0; 1) \Rightarrow S_{Δ O A B} = \frac{1}{2} O A . O B = \frac{1}{2} . \frac{1}{3} .1 = \frac{1}{6}

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

Bài thi liên quan:

Các bài thi hot trong chương:

Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm có đáp án

( 1.8 K lượt thi )

Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 3: Vi phân- đạo hàm cấp cao có đáp án

( 1.5 K lượt thi )

Đề kiểm tra học kì 1 Chuyên đề toán 11: Kiểm tra 15 phút có đáp án

( 3.3 K lượt thi )

Đề kiểm tra học kì 1 Chuyên đề toán 11: Kiểm tra 45 phút có đáp án

( 3.2 K lượt thi )

Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Quy tắc đếm - Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp có đáp án

( 2.5 K lượt thi )

Bài tập chuyên đề toán 11 Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng có đáp án

( 2.2 K lượt thi )

Đề kiểm tra học kì 1 Chuyên đề toán 11: Kiểm tra cuối kì có đáp án

( 2.1 K lượt thi )

Đánh giá trung bình

Thi Online Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 2: Quy tắc tính đạo hàm có đáp án