Đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách khoa Hà Nội có đáp án (Đề 15)

\(f\left( x \right) = - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x - 6{\rm{cos}}x + 6\)

\( = - 2\left( {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \right) - 6{\rm{cos}}x + 6\)

\( = 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 6{\rm{cos}}x + 4\)

Đặt \({\rm{cos}}x = t \Rightarrow - 1 \le t \le 1\)

\(f\left( x \right) = g\left( t \right) = 2{t^2} - 6t + 4\); \(g'\left( t \right) = 4t - 6;g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{3}{2}\).

\(g\left( {\frac{3}{2}} \right) = - \frac{1}{2};g\left( { - 1} \right) = 12;g\left( 1 \right) = 0\).

Giá trị lớn nhất của \(f\left( x \right)\) là 12.

\(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 6{\rm{cos}}x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{cos}}x = 1\,\,\left( {{\rm{tm}}} \right)}\\{{\rm{cos}}x = 2\,\,\left( {{\rm{ktm}}} \right)}\end{array} \Leftrightarrow x = k2\pi } \right.,k \in \mathbb{Z}\).

Ta có \(x \in \left( {0;20} \right) \Rightarrow 0 < k2\pi < 20\)

\( \Leftrightarrow 0 < k < 3,18\) mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ {1;2;3} \right\}\).

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\) là 3.

\(f\left( x \right) \ge 12 \Leftrightarrow 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 6{\rm{cos}}x + 4 \ge 12\)

\( \Leftrightarrow 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x - 6{\rm{cos}}x - 8 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{\rm{cos}}x + 1} \right)\left( {{\rm{cos}}x - 4} \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {\rm{cos}}x + 1 \le 0\)

\( \Leftrightarrow {\rm{cos}}x \le - 1\)

Mà \({\rm{cos}}x \ge - 1 \Rightarrow {\rm{cos}}x = - 1\).

Số điểm biểu diễn nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) \ge 12\) trên đường tròn lượng giác là 1 .

Do đó ta điền như sau

Giá trị lớn nhất của \(f\left( x \right)\) là 12.

Cho \(x \in \left( {0;20} \right)\), số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\) là: 3 .

Số điểm biểu diễn nghiệm của bất phương trình \(f\left( x \right) \ge 12\) trên đường tròn lượng giác là 1 .

Ta có \(A\left( {2;0;0} \right),B\left( {0;0;1} \right)\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\), ta có \(I\left( {1;0;\frac{1}{2}} \right)\) và \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;0;1} \right)\).

\( \Rightarrow AB = \sqrt 5 \).

Phương trình mặt phẳng trung trực của \(AB\) là

\( - 2\left( {x - 1} \right) + 0\left( {y - 0} \right) + 1\left( {z - \frac{1}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 2z - 3 = 0\).

Do đó ta chọn đáp án như sau

Số cách xếp là 3!.2! = 12 cách xếp.

Do đó ta điền như sau

Người ta muốn trang trí Tết bằng cách xếp xen kẽ 3 cây quất và 2 cây đào sao cho không có cây nào cùng loại xếp cạnh nhau.

Số cách xếp là 12.

Ta có \(z = \frac{{3 + 3i}}{{1 - i}} = 3i \Rightarrow M\left( {0;3} \right) \Rightarrow a = 0;b = 3\).

Suy ra \(a + 2b = 6\).

Do đó ta chọn đáp án như sau

Nếu \(f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {a;b} \right)\) thì hàm số \(f\) chưa chắc đã đồng biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) vì vẫn có thể xảy ra trường hợp \(f'\left( x \right) = 0,\forall x \in \left( {a;b} \right) \Rightarrow \) Mệnh đề 1 sai.

Điểm \({x_0}\) là điểm cực trị của hàm số \(f\) nếu \(f'\left( x \right)\) đổi dấu khi \(x\) đi qua \({x_0} \Rightarrow \) Mệnh đề 2 đúng.

Hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) luôn đồng biến trên \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right) \Rightarrow \) Mệnh đề 3 sai vì \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) luôn đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

Cho hàm số \(f\) có đạo hàm cấp hai trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\). Nếu \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\) thỏa mãn \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) và \(f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) thì \({x_0}\) là điểm cực đại của hàm số \(f \Rightarrow \) Mệnh đề 4 đúng.

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{ - x + 2}}{{2x - 4}}\) có tiệm cận đứng \(x = 2\) và tiệm cận ngang \(y = - \frac{1}{2} \Rightarrow \) Mệnh đề 5 đúng.

Do đó ta chọn đáp án như sau

þ Nếu \(f'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {a;b} \right)\) thì hàm số \(f\) đồng biến trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\).

þ Hàm số \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) luôn đồng biến trên \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( { - 1; + \infty } \right)\).

+) Với \({x_1};{x_2} \in \left( {a;b} \right)\) thỏa mãn \({x_1} < {x_2} < 0\) thì \({x_1};{x_2} \in \left( {a;0} \right)\)

Mà hàm số nghịch biến trên \(\left( {a;0} \right)\) nên \(f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\).

+) Hàm số nghịch biến trên \(\left( {a;0} \right)\) nên với \({x_0} \in \left( {a;0} \right)\) thì \(f'\left( {{x_0}} \right) < 0\).

+) Quan sát đồ thị ta thấy khi \(x \in \left[ {a;b} \right]\) thì \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right) = f\left( a \right)\)

Khi đó với \({x_0} \in \left( {0;b} \right)\) thì \(f\left( {{x_0}} \right) < f\left( a \right)\).

Do đó ta chọn đáp án như sau

Số cách tạo một số gồm 4 chữ số từ tập hợp gồm các chữ số \(1,2,3,4,5,6\) là: \({6^4} = 1296\).

Do đó ta điền đáp án như sau

Đáp án 1296.

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_{12}} = 23}\\{{S_{12}} = 144}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} + 11d = 23}\\{\frac{{12}}{2}\left( {{u_1} + {u_{12}}} \right) = 144}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{u_1} = 1}\\{d = \frac{{23 - {u_1}}}{{11}} = 2.}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Do đó ta điền như sau

Số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là: 1.

Công sai của cấp số cộng là: 2.