10 câu Trắc nghiệm Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp có đáp án (Vận dụng)

Đáp án cần chọn là: A

TH1: Có 10 chữ số 5: Chỉ có duy nhất 1 số.

TH2: Có 9 chữ số 5 và 1 chữ số 2 .

Xếp 9 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 10 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 1 chữ số 2 vào 10 vách ngăn đó, có 10 cách.

Vậy trường hợp này có 10 số.

TH3: Có 8 chữ số 5 và 2 chữ số 2.

Xếp 8 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách.

Khi đó ta sẽ tạo nên 9 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 2 chữ số 2 vào 9 vách ngăn đó, có $C_9^2=36$ cách.

Vậy trường hợp này có 36 số.

TH4: Có 7 chữ số 5 và 3 chữ số 2 .

Xếp 7 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách.

Khi đó ta sẽ tạo nên 8 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 3 chữ số 2 vào 8 vách ngăn đó, có $C_8^3=56$ cách.

Vậy trường hợp này có 56 số.

TH5: Có 6 chữ số 5 và 4 chữ số 2 .

Xếp 6 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 7 vách ngăn. Việc còn lại là xếp 4 chữ số 2 vào 7 vách ngăn đó, có $C_7^4$ cách.

Vậy trường hợp này có 35 số.

TH6: Có 5 chữ số 5 và 5 chữ số 2.

Xếp 5 chữ số 5 thành 1 hàng ngang có 1 cách. Khi đó ta sẽ tạo nên 6 vách ngăn.

Việc còn lại là xếp 5 chữ số 2 vào 6 vách ngăn đó, có $C_6^5=6$ cách.

Vậy trường hợp này có 6 số.

Theo quy tắc cộng ta có tất cả: 1+10+36+56+35+6=144 số.

Chú ý

Nguyên tắc vách ngăn: Khi xếp n phần tử sẽ tạo ra n+1vách ngăn. Rất nhiều học sinh mắc sai lầm là chỉ tạo ra nn vách ngăn.

Đáp án cần chọn là: B

Ta tìm số cách sao cho sau khi tặng sách xong có 1 môn hết sách.

TH1: Môn Toán hết sách:

Số cách chọn 4 cuốn sách Toán là 1 cách.

Số cách chọn 1 cuốn trong 6 cuốn còn lại là 6 cách.

Vậy có 6 cách chọn sách.

Số cách tặng 5 cuốn sách đó cho 5 em học sinh là  $A_5^5$=120 cách.

Vậy có 6.120=720 cách.

TH2: Môn Lí hết sách:

Số cách chọn 3 cuốn sách Lí là 1 cách.

Số cách chọn 2 cuốn trong 7 cuốn còn lại là $C_7^2$ cách.

Vậy có 21 cách chọn sách.

Số cách tặng 5 cuốn sách đó cho 5 em học sinh là $A_5^5$=120 cách.

Vậy có 21.120=2520 cách.

TH3: Môn Hóa hết sách: Tương tự trường hợp 2 thì có 2520 cách.

Số cách chọn 5 cuốn bất kì trong 10 cuốn và tặng cho 5 em là  $C_{10}^5{A}_5^5$=30240 cách.

Vậy số cách chọn sao cho sau khi tặng xong, mỗi loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn là 30240−720−2520−2520=24480 cách.

Chú ý

HS có thể sẽ quên không xét đến công đoạn sau khi chọn sách còn công đoạn tặng sách nữa. Do các bạn A,B,C,D,E là khác nhau nên mỗi cách tặng sách các môn cho các bạn là khác nhau, nên ta phải xét thêm công đoạn đó.

Đáp án cần chọn là: B

Trước hết ta chứng minh công thức $C_k^n+C_n^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$

$$\begin{gathered} VT=C_n^k+C_n^{k+1} \\ =\frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!} \\ =\frac{n!}{k!(n-k-1)!}\left(\frac{1}{n-k}+\frac{1}{k+1}\right) \\ =\frac{n!}{k!(n-k-1)!}.\frac{k+1+n-k}{(n-k)(k+1)} \\ =\frac{n!(n+1)}{k!(k+1)(n-k-1)!(n-k)} \\ =\frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}=C_{n+1}^{k+1}=VP \end{gathered}$$

Ta tính giá trị của biểu thức B sau đây:

$$\begin{gathered} B=C_n^k+4C_n^{k-1}+6C_n^{k-2}+4C_n^{k-3}+C_n^{k-4} \\ =C_n^k+C_n^{k-1}+3(C_n^{k-1}+C_n^{k-2})+3(C_n^{k-2}+C_n^{k-3})+C_n^{k-3}+C_n^{k-4} \\ =C_{n+1}^k+3C_{n+1}^{k-1}+3C_{n+1}^{k-2}+C_{n+1}^{k-3} \\ =C_{n+1}^k+C_{n+1}^{k-1}+2(C_{n+1}^{k-1}+C_{n+1}^{k-2})+C_{n+1}^{k-2}+C_{n+1}^{k-3} \\ =C_{n+2}^k+2C_{n+2}^{k-1}+C_{n+2}^{k-2} \\ =(C_{n+2}^k+C_{n+2}^{k-1})+(C_{n+2}^{k-1}+C_{n+2}^{k-2}) \\ =C_{n+3}^k+C_{n+3}^{k-1}=C_{n+4}^k \end{gathered}$$

$\Rightarrow A=B-C_{n+4}^k+1=C_{n+4}^k-C_{n+4}^k+1=1$

Chọn đáp án A

Số cách chọn 3 người từ đơn vị A là $C_5^3$ cách.

Số cách chọn 3 người từ đơn vị B là $C_6^3$ cách.

Lấy 1 người trong đơn vị A đi ghép cặp đấu với 1 trong 3 người ở đơn vị B, ta được 3 cách.

Lấy 1 người trong 2 người còn lại ở đơn vị A đi ghép cặp đấu với 1 trong 2 người còn lại ở đơn vị B, ta được 2 cách.

Vậy có $C_5^3.C_6^3.3.2=1200$ cách thực hiện việc ghép cặp thi đấu.

Chọn đáp án B

Số số có 7 chữ số khác nhau lập từ các chữ số đã cho: 7!

Xếp 4 chữ số lẻ trên 1 hàng ngang với vị trí bất kì: 4! Cách.

Ở đây giữa sẽ tạo thành 5 khoảng trống (bao gồm 3 khoảng trống giữa hai chữ số lẻ và 2 khoảng trống tại vị trí đầu và cuối). Ở mỗi khoảng trống, ta sẽ điền các chữ số chẵn 2, 4, 6 vào không kể thứ tự sao cho mỗi khoảng trống chỉ có 1 chữ số chẵn: $A_5^3$  

Cách xếp này cũng chính là số số thỏa yêu cầu đề: $A_5^3.4!=2.6!$.