Đề thi ôn tốt nghiệp THPT Toán có lời giải ( Đề 5)

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị cực đại của hàm số đã cho là 3. Chọn A.

Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2ax + 3\).

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nếu \(f'\left( x \right) \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow \Delta ' = {a^2} - 3 \cdot 3 \le 0 \Leftrightarrow - 3 \le a \le 3\).

Vậy có 7 số nguyên \(a\) thỏa mãn yêu cầu. Chọn D.

Mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y + z + 3 = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2\,;\, - 1\,;\,\,1} \right)\). Chọn A.

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {2; - 2} \right\}\).

Ta có \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x - 1}}{{x - 2}}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x - 1}}{{x - 2}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x - 1}}{{x - 2}} = - \infty \);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{x - 1}}{{x - 2}} = \frac{3}{4}\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{x - 1}}{{x - 2}} = \frac{3}{4}\).

Suy ra đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) có một tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 2\). Chọn B.

Ta có \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int {{4^x}{\rm{d}}x} = \frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} + C = \frac{{{4^x}}}{{2\ln 2}} + C} \). Suy ra \(F\left( x \right) = \frac{{{4^x}}}{{2\ln 2}} + C\).

Vì \(F\left( 1 \right) = \frac{2}{{\ln 2}} + C = \frac{1}{{\ln 2}}\). Suy ra \(C = - \frac{1}{{\ln 2}}\). Do đó \(F\left( {\frac{3}{2}} \right) = \frac{{{4^{\frac{3}{2}}}}}{{2\ln 2}} - \frac{1}{{\ln 2}} = \frac{3}{{\ln 2}}\).

Suy ra \(F\left( {\frac{3}{2}} \right) \cdot \ln 2 = 3\). Chọn A.

Ta có \(f'\left( x \right) = {\left( {{x^2} - 1} \right)^\prime } = 2x;f'\left( { - 1} \right) = - 2\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( P \right)\) tại điểm \(M\left( { - 1;0} \right)\) là

\(y = f'\left( { - 1} \right) \cdot \left( {x + 1} \right) + f\left( { - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow y = - 2 \cdot \left( {x + 1} \right) + 0\) hay \(y = - 2x - 2\).

Diện tích cần tìm là \(S = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {\left( {{x^2} - 1} \right) - \left( { - 2x - 2} \right)} \right|{\rm{d}}x} \)\( = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{x^2} + 2x + 1} \right|{\rm{d}}x} = \frac{1}{3}\). Chọn C.

\({\log _3}\left( {{x^2} - x + 7} \right) < 2\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x + 7 > 0\\{x^2} - x + 7 < {3^2}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\forall x \in \mathbb{R}\\{x^2} - x - 2 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\forall x \in \mathbb{R}\\ - 1 < x < 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow - 1 < x < 2\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(\left( { - 1;2} \right)\).

Suy ra \(a = - 1;b = 2\). Do đó \(b - a = 2 + 1 = 3\). Chọn C.

Ta có \(P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cup B} \right) = 0,7 + 0,5 - 0,8 = 0,4\).

Ta có \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0,4}}{{0,5}} = 0,8\). Chọn D.

Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I(2;1; - 1)\) và bán kính \(R = 3\) nên có phương trình là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\). Chọn B.

\(2\sin x + \sqrt 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \sin x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Trên đoạn \( - \frac{{3\pi }}{2} \le x \le \frac{{3\pi }}{2}\) , đồ thị hàm số \(y = - \sin x\) và đường thẳng \(y = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) có 3 điểm chung nên phương trình \(\sin x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) có 3 nghiệm phân biệt. Chọn B.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là \(10 - 5 = 5\). Chọn A.

Có \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;1; - 1} \right)\).

Đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A\left( { - 1;1;0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;1; - 1} \right)\) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 4t\\y = 1 + t\\z = - t\end{array} \right.\). Chọn B.

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 1}}{{{x^2} + 2}} = 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 1}}{{{x^2} + 2}} = 0\).

Do đó \(y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\). Có \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 2\left( {{x^2} - x - 2} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 2} \right)}^2}}}\);

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 2\left( {{x^2} - x - 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(x = 2\).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 1\).

Dựa vào bảng biến thiên ta có \( - 1 \le f\left( x \right) \le \frac{1}{2}\).

Với \(m = 0\) đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = m\) có 1 điểm chung nên phương trình \(f\left( x \right) = m\) có 1 nghiệm phân biệt.

Đáp án:       a) Đúng,      b) Sai,                   c) Đúng,      d) Sai.

Ta có \(4 \cdot 1 - 2 + 2 \cdot 3 + 13 = 21 \ne 0\) nên mặt phẳng \(\left( P \right)\) không đi qua điểm \(A\).

Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {4; - 1;2} \right).\)

Phương trình tham số của \(\Delta \) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 2 - t\\z = 3 + 2t\end{array} \right.\).

Gọi \(C\) là giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \(\left( P \right)\).

Vì \(C \in \Delta \) nên \(C\left( {1 + 4{t_0};2 - {t_0};3 + 2{t_0}} \right)\).

Vì \(C \in \left( P \right)\) nên \(4\left( {1 + 4{t_0}} \right) - \left( {2 - {t_0}} \right) + 2\left( {3 + 2{t_0}} \right) + 13 = 0\), suy ra \({t_0} = - 1\). Vậy \(C\left( { - 3;3;1} \right)\).

Một vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\overrightarrow {CB} = \left( {3; - 2; - 7} \right)\). Suy ra \(a + b + c = 3 - 2 - 7 = - 6\).

Đáp án:       a) Sai,                    b) Sai,                   c) Đúng,      d) Sai.

Khoảng biến thiên thời gian chạy của Hoa là \(24,2 - 23,7 = 0,5\) (giây).

Khoảng biến thiên thời gian chạy của Mai là \(24 - 23,7 = 0,3\)(giây).

Ta có bảng sau

Thành tích trung bình của Hoa là

\(\overline {{x_1}} = \frac{{23,75 \cdot 11 + 23,85 \cdot 15 + 23,95 \cdot 7 + 24,05 \cdot 0 + 24,15 \cdot 5}}{{38}} \approx 23,8789 < 23,9\).

Thành tích trung bình của Mai là

\(\overline {{x_2}} = \frac{{23,75 \cdot 28 + 23,85 \cdot 18 + 23,95 \cdot 4 + 24,05 \cdot 0 + 24,15 \cdot 0}}{{50}} = 23,802\).

Vì \(\overline {{x_2}} < \overline {{x_1}} \) nên thành tích trung bình của Mai tốt hơn Hoa.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về thời gian chạy của Hoa là

\({s_1} = \sqrt {\frac{{23,{{75}^2} \cdot 11 + 23,{{85}^2} \cdot 15 + 23,{{95}^2} \cdot 7 + 24,{{05}^2} \cdot 0 + 24,{{15}^2} \cdot 5}}{{38}} - 23,{{8789}^2}} \approx 0,134\).

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu về thời gian chạy của Mai là

\({s_2} = \sqrt {\frac{{23,{{75}^2} \cdot 28 + 23,{{85}^2} \cdot 18 + 23,{{95}^2} \cdot 4 + 24,{{05}^2} \cdot 0 + 24,{{15}^2} \cdot 0}}{{50}} - 23,{{802}^2}} = 0,064\).

Do độ lệch chuẩn của Mai thấp hơn của Hoa nên Mai có thành tích ổn định hơn Hoa.

Đáp án:       a) Sai,                    b) Đúng,     c) Sai,                    d) Đúng.

Gọi \({V_1}\) là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x + \frac{1}{x}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 4\) quay quanh trục \(Ox\).

Khi đó \({V_1} = \pi \int\limits_1^4 {{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^2}} \;{\rm{d}}x = \frac{{111\pi }}{4}\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).

Gọi \({V_2}\) là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 1,x = 4\) quay quanh trục \(Ox\).

Khi đó \({V_2} = \pi \int\limits_1^4 {{x^2}} \;{\rm{d}}x = 21\,\pi \,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).

Vậy thể tích của bề dày chiếc bát thủy tinh đó là: \(V = {V_1} - {V_2} = \frac{{111\pi }}{4} - 21\pi = \frac{{27\pi }}{4} \approx 21,2\,\,\left( {{\rm{d}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right){\rm{.}}\)

Đáp án: \(21,2\).

Ta có: \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z + 5 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = {3^2}\).

Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là đường kính của mặt cầu, tức là \(6\)km.

Đáp án: \(6\).

Kí hiệu \(x\) là hoành độ của điểm \(B\) \(\left( {0 < x < 3} \right)\).

Ta có \(AB = 2x,BC = 9 - {x^2}\).

Từ đó, diện tích hình chữ nhật \(ABCD\) là \(S\left( x \right) = 18x - 2{x^3},0 < x < 3\).

Ta có \(S'\left( x \right) = 18 - 6{x^2}\), \(S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow x = \sqrt 3 \) (do \(x > 0\)). Bảng biến thiên:

Từ đó \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;3} \right)} S\left( x \right) = S\left( {\sqrt 3 } \right) = 12\sqrt 3 \approx 20,8\).

Đáp án: \(20,8\).

Gọi \(A\) là biến cố “Xạ thủ được chọn thuộc hạng I”, \(C\) là biến cố “Xạ thủ bắn trúng mục tiêu”. Ta cần tính \(P\left( {A|C} \right)\).

Ta có \(P\left( {A|C} \right) = \frac{{P\left( {C|A} \right)P\left( A \right)}}{{P\left( {C|A} \right)P\left( A \right) + P\left( {C|\overline A } \right)P\left( {\overline A } \right)}} = \frac{{0,8 \cdot 0,4}}{{0,8 \cdot 0,4 + 0,7 \cdot 0,6}} = \frac{{16}}{{37}} \approx 0,43\).

Đáp án: \(0,43\).

Trung điểm của \(BC\) là \(I\left( {1;4;1} \right)\). Ta có \(S = 2MA + \left| {2\overrightarrow {MI} } \right| = 2\left( {MA + MI} \right)\).

Do điểm \(A\) và điểm \(I\) nằm cùng phía so với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) nên \(MA + MI = MA' + MI\) với \(A'\left( { - 1;1; - 2} \right)\) là điểm đối xứng của \(A\) qua mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Ta lại có \(S = 2\left( {MA' + MI} \right) \ge 2A'I\). Suy ra \(M \in \left( {Oxy} \right)\) và \(M,A',I\) thẳng hàng.

Khi đó, hai vectơ \(\overrightarrow {A'M} = \left( {a + 1;b - 1;2} \right)\), \(\overrightarrow {A'I} = \left( {2;3;3} \right)\) cùng phương.

Suy ra \(\frac{{a + 1}}{2} = \frac{{b - 1}}{3} = \frac{2}{3}\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{3}\\b = 3\end{array} \right.\). Vậy \(a + b = \frac{{10}}{3} \approx 3,3\).

Đáp án: \(3,3\).