Dạng 3: Ứng dụng tính liên tục trong giải phương trình có đáp án

Thi Online Trắc nghiệm Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục có đáp án (Mới nhất)

Dạng 3: Ứng dụng tính liên tục trong giải phương trình có đáp án

1728 lượt thi
7 câu hỏi
45 phút

Câu 1:

Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

a) $x^{3} - 3 x + 1 = 0$

a) Dễ thấy hàm $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ liên tục trên R . Ta có:

$\{\begin{cases} f (- 2) = - 1 \\ f (- 1) = 3 \end{cases} \Rightarrow f (- 2) . f (- 1) < 0 \Rightarrow$ tồn tại một số $a_{1} \in (- 2; - 1) : f (a_{1}) = 0 (1) .$

$\{\begin{cases} f (0) = 1 \\ f (1) = - 1 \end{cases} \Rightarrow f (0) . f (1) < 0 \Rightarrow$ tồn tại một số $a_{2} \in (0; 1) : f (a_{2}) = 0 (2) .$

$\{\begin{cases} f (1) = - 1 \\ f (2) = 3 \end{cases} \Rightarrow f (1) . f (2) < 0 \Rightarrow$ tồn tại một số $a_{3} \in (1; 2) : f (a_{3}) = 0 (3) .$

- Do ba khoảng (-2;1), (0;1) và (1;2) đôi một không giao nhau nên phương trình $x^{3} - 3 x + 1 = 0$ có ít nhất 3 nghiệm phân biệt.

- Mà phương trình bậc 3 thì chỉ có tối đa là 3 nghiệm nên $x^{3} - 3 x + 1 = 0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt.

Câu 2:

b) $2 x + 6 \sqrt[3]{1 - x} = 3$

Xem đáp án

b) Đặt $\sqrt[3]{1 - x} = t \Leftrightarrow x = 1 - t^{3} \Rightarrow 2 t^{3} - 6 t + 1 = 0$

- Xét hàm số $f (t) = 2 t^{3} - 6 t + 1$ liên tục trên R

- Ta có: $\{\begin{cases} f (- 2) . f (- 1) = - 3.5 < 0 \\ f (0) . f (1) = 1. (- 3) < 0 \\ f (1) . f (2) = - 3.5 < 0 \end{cases} \Rightarrow$ tồn tại 3 số $t_{1}, t_{2}$ và $t_{3}$ lần lượt thuộc 3 khoảng đôi một không giao nhau là $(- 2; - 1), (0; 1)$ và $(1; 2)$ sao cho $f (t_{1}) = f (t_{2}) = f (t_{3}) = 0$ và do đây là phương trình bậc 3 nên $f (t) = 0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt.

- Ứng với mỗi giá trị $t_{1}, t_{2}$ và $t_{3}$ ta tìm được duy nhất một giá trị thỏa mãn $x = 1 - t^{3}$ và hiển nhiên 3 giá trị này khác nhau nên PT ban đầu có đúng 3 nghiệm phân biệt.

Câu 3:

Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm:

a) $x^{5} - 3 x + 3 = 0$

Xem đáp án

a) Xét $f (x) = x^{5} - 3 x + 3.$

$\lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty \Rightarrow$ tồn tại một số $x_{1} > 0$ sao cho $f (x_{1}) > 0.$

$\lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty \Rightarrow$ tồn tại một số $x_{2} < 0$ sao cho $f (x_{2}) < 0.$

Từ đó $f (x_{1}) . f (x_{2}) < 0 \Rightarrow$ luôn tồn tại một số $x_{0} \in (x_{2}; x_{1}) : f (x_{0}) = 0$ nên phương trình $x^{5} - 3 x + 3 = 0$ luôn có nghiệm.