Dạng 3: Ứng dụng tính liên tục trong giải phương trình có đáp án

  • 1500 lượt thi

  • 7 câu hỏi

  • 45 phút

Câu 1:

Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

a) x33x+1=0

Xem đáp án

a) Dễ thấy hàm fx=x33x+1 liên tục trên R . Ta có:

f2=1f1=3f2.f1<0 tồn tại một số a12;1:fa1=01.

f0=1f1=1f0.f1<0 tồn tại một số a20;1:fa2=02.

f1=1f2=3f1.f2<0 tồn tại một số a31;2:fa3=03.

- Do ba khoảng (-2;1), (0;1)  và (1;2)  đôi một không giao nhau nên phương trình x33x+1=0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt.

- Mà phương trình bậc 3 thì chỉ có tối đa là 3 nghiệm nên x33x+1=0 có đúng 3 nghiệm phân biệt.


Câu 2:

b) 2x+61x3=3

Xem đáp án

b) Đặt 1x3=tx=1t32t36t+1=0

- Xét hàm số ft=2t36t+1 liên tục trên R

- Ta có: f2.f1=3.5<0f0.f1=1.3<0f1.f2=3.5<0 tồn tại 3 số t1, t2t3 lần lượt thuộc 3 khoảng đôi một không giao nhau là 2;1, 0;11;2 sao cho ft1=ft2=ft3=0 và do đây là phương trình bậc 3 nên ft=0 có đúng 3 nghiệm phân biệt.

- Ứng với mỗi giá trị t1, t2t3 ta tìm được duy nhất một giá trị  thỏa mãn x=1t3 và hiển nhiên 3 giá trị này khác nhau nên PT ban đầu có đúng 3 nghiệm phân biệt.


Câu 3:

Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm:

a) x53x+3=0

Xem đáp án

a) Xét fx=x53x+3.

limx+fx=+ tồn tại một số x1>0 sao cho fx1>0.

limxfx= tồn tại một số x2<0 sao cho fx2<0.

Từ đó fx1.fx2<0 luôn tồn tại một số x0x2;x1:fx0=0 nên phương trình x53x+3=0 luôn có nghiệm.


Câu 4:

b) x4+x33x2+x+1=0

Xem đáp án

b) Xét fx=x4+x33x2+x+1 liên tục trên R

 Ta có: f1=3<0

limx+fx=+ tồn tại một số a > 0  sao cho f(a) > 0

Từ đó x2x3=0 nên luôn tồn tại một số x00;a thỏa mãn fx0=0 nên phương trình x4+x33x2+x+1=0 luôn có nghiệm

Câu 5:

Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:

a) 1m2x+13+x2x3=0

Xem đáp án

a) Xét m=1m=1. Phương trình có dạng x2x3=0 nên PT có nghiệm

Với m1m1giả sử fx=1m2x+13+x2x3

f(x) liên tục trên R nên f(x)  liên tục trên [-1;0]

Ta có f1=m2+1>0; f0=1<0f1.f0<0

Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m


0

Đánh giá trung bình

0%

0%

0%

0%

0%

Bình luận


Bình luận