Đặt $t=\sin x+\cos x\left(-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}\right)\Rightarrow \sin x\cos x=\frac{t^2-1}{2}.$

Phương trình trở thành $\frac{t^2-1}{2}-t+m=0\iff -2m=t^2-2t-1\iff {\left(t-1\right)}^2=-2m+2$.

Do $-\sqrt{2}\le t\le \sqrt{2}\Rightarrow -\sqrt{2}-1\le t-1\le \sqrt{2}-1\iff 0\le {\left(t-1\right)}^2\le 3+2\sqrt{2}$.

Vậy để phương trình có nghiệm 

$$\begin{gathered} \iff 0\le -2m+2\le 3+2\sqrt{2}\iff -\frac{1+2\sqrt{2}}{2}\le m\le 1 \\ \stackrel{m\in \mathbb{Z}}{\to }m\in \left\{-1;0;1\right\}. \end{gathered}$$                            

Chọn đáp án C.

Đặt $t=\left|\sin x+\cos x\right|=\sqrt{2}\left|\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\right|$.

Vì $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\in \left[-1;1\right]\Rightarrow t\in \left[0;\sqrt{2}\right]$.

Ta có $t^2={\left(\sin x+\cos x\right)}^2={\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x+2\sin x\cos x\Rightarrow \sin 2x=t^2-1.$

Phương trình đã cho trở thành $2\left(t^2-1\right)-3\sqrt{6}t+8=0\iff \left[\begin{array}{l}t=\frac{\sqrt{6}}{2}\\ t=\sqrt{6}\left(loaï\right)\end{array}\right.$

$\sin 2x=t^2-1=\frac{1}{2}.$ 

Chọn đáp án C.

Ta có $y=4{\sin }^{2}x+\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=4\left(\frac{1-\cos 2x}{2}\right)+\sin 2x+\cos 2x$

$=\sin 2x-\cos 2x+2=\sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)+2.$

Mà $-1\le \sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)\le 1\Rightarrow -\sqrt{2}+2\le \sqrt{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)+2\le \sqrt{2}+2$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $2+\sqrt{2}.$

 Chọn đáp án D.

Hàm số xác định $\iff \sin x-\cos x\ne 0\iff \tan x\ne 1\iff x\ne \frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$

Vậy tập xác định $\text{D}=ℝ\backslash \left\{\frac{\pi }{4}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}.$ 

Chọn đáp án D.

Tất các các hàm số đều có TXĐ:  D =R

 Do đó $\forall x\in \text{D}\Rightarrow -x\in \text{D.}$ 

Bây giờ ta kiểm tra f(x) = f(-x) hoặc f(-x) = - f(x).

= Với y = f(x) = - sinx. Ta có f(-x)= - sin (-x) = sinx = - (- sinx)

$\Rightarrow f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$. Suy ra hàm số y = -sinx là hàm số lẻ.

= Với y = f(x) = cosx –sinx. Ta có $f\left(-x\right)=\cos \left(-x\right)-\sin \left(-x\right)=\cos x+\sin x$

$\Rightarrow f\left(-x\right)\ne \left\{-f\left(x\right),f\left(x\right)\right\}$. Suy ra hàm số y = cosx - sinx không chẵn không lẻ.

= Với $y=f\left(x\right)=\cos x+{\sin }^{2}x$. Ta có $f\left(-x\right)=\cos \left(-x\right)+{\sin }^2\left(-x\right)$

$=\cos \left(-x\right)+{\left[\sin \left(-x\right)\right]}^2=\cos x+{\left[-\sin x\right]}^2=\cos x+{\sin }^{2}x$

$\Rightarrow f\left(-x\right)=f\left(x\right)$. Suy ra hàm số $y=\cos x+{\sin }^{2}x$ là hàm số chẵn.

= Với $y=f\left(x\right)=\cos x\sin x.$ Ta có $f\left(-x\right)=\cos \left(-x\right).\sin \left(-x\right)=-\cos x\sin x$

$\Rightarrow f\left(-x\right)=-f\left(x\right)$. Suy ra hàm số $y=\cos x\sin x$ là hàm số lẻ.

Chọn đáp án C