Dạng 1: Hàm số liên tục tại một điểm, trên một tập có đáp án

Thi Online Bài tập chuyên đề toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục có đáp án

Dạng 1: Hàm số liên tục tại một điểm, trên một tập có đáp án

459 lượt thi
33 câu hỏi
50 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Câu 1:

Cho hàm số

$f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{3} - 27}{x^{2} - x - 6}, k h i x \neq 3 \\ \frac{27}{5}, k h i x = 3 \end{cases}$

Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x=3

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định trên R

Ta có $f (3) = \frac{27}{5}$ và $\lim_{x \to 3} f (x) = \lim_{x \to 3} \frac{x^{3} - 27}{x^{2} - x - 6} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)}{(x - 3) (x + 2)}$

$= \lim_{x \to 3} \frac{x^{2} + 3 x + 9}{x + 2} = \frac{27}{5}$

Câu 2:

Cho hàm số $f (x) - \{\begin{cases} \frac{x - 3}{\sqrt{2 x + 3} - 3} k h i x < 3 \\ {(x - 1)}^{2} k h i x \geq 3 \end{cases}$ . Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x=3

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim_{x \to 3^{+}} f (x) = \lim_{x \to 3^{+}} {(x - 1)}^{2} = 4$

$\lim_{x \to 3^{-}} = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{x - 3}{\sqrt{2 x + 3} - 3} = \lim_{x \to 3^{-}} \frac{\sqrt{2 x + 3} + 3}{2} = 3$

Do đó $\lim_{x \to 3^{-}} f (x) \neq \lim_{x \to 3^{+}} f (x)$

Vậy hàm số gián đoạn tại x=3

Câu 3:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{\sqrt[3]{4 x} - 2}{x - 2}, k h i x \neq 2 \\ a, k h i x = 2 \end{cases}$ . Tìm a để hàm số liên tục tại điểm x=2

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định trên R

Ta có $f (2) = a$ và $\lim_{x \to 2} f (x) = \lim_{x \to 2} \frac{\sqrt[3]{4 x} - 2}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \frac{4}{\sqrt[3]{{(4 x)}^{2}} + 2 \sqrt[3]{4 x} + 4} = \frac{1}{3}$

Vậy để hàm số liên tục tại điểm x=2 thì $\lim_{x \to 2} f (x) = f (2) \Leftrightarrow a = \frac{1}{3}$

Câu 4:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{x^{3} + 1} k h i x < - 1 \\ m^{2} x^{2} + 2 m x - 5 k h i x \geq - 1 \end{cases}$

Tìm m để hàm số liên tục tại điểm x=-1

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định trên R

Ta có: $\lim_{x \to - 1^{-}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{x^{4} - 5 x^{2} + 4}{x^{3} + 1} = \lim_{x \to - 1^{-}} \frac{(x - 1) (x^{2} - 4)}{x^{2} - x + 1} = 2$

$\lim_{x \to - 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{+}} (m^{2} x^{2} + 2 m x - 5) = m^{2} - 2 m - 5 = f (- 1)$

Hàm số liên tục tại x=-1 khi và chỉ khi

$\lim_{x \to - 1^{+}} f (x) = \lim_{x \to - 1^{-}} f (x) = f (- 1)$ $\Leftrightarrow m^{2} - 2 m - 5 = 2 \Rightarrow m = 1 \pm \sqrt{2}$

Câu 5:

Cho hàm số $f (x) = \{\begin{cases} \frac{x^{2} - 1}{x + 1}, k h i x \neq - 1 \\ 2, k h i x = - 1 \end{cases}$

Xét tính liên tục của hàm số trên toàn bộ tập xác định

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định trên D=R

Với $x \neq - 1$ thì $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x + 1} = x - 1$ là hàm số liên tục trên tập xác định.

Do đó hàm số liên tục trên $(- \infty; - 1)$ và $(- 1; + \infty)$

Với x= -1 ta có $\lim_{x \to - 1} f (x) = \lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} - 1}{x + 1} = \lim_{x \to - 1} (x - 1) = - 2$

Vì $f (- 1) = 2 \neq \lim_{x \to - 1} f (x)$

Vậy hàm số liên tục trên các khoảng $(- \infty; - 1)$ và $(- 1; + \infty)$ ; hàm số không liên tục tại điểm x=-1

Thi Online Bài tập chuyên đề toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục có đáp án