* Với n =  1:

  Vế trái của (1) =  1.4 = 4;  vế phải của (1) = $1.{( 1+1)}^2$ = 4.

 Suy ra Vế trái của (1) = Vế phải của (1).  Vậy (1) đúng với n = 1.

* Giả sử (1) đúng với n= k. Có nghĩa là ta có: $1.4+2.7+\cdot \cdot \cdot +k\left(3k+1\right)=k{\left(k+1\right)}^2\left(2\right)$

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1. Có nghĩa ta phải chứng minh:

$1.4+2.7+\cdot \cdot \cdot +k\left(3k+1\right)+\left(k+1\right)\left(3k+4\right)=\left(k+1\right){\left(k+2\right)}^2$

Thật vậy $\underset{=k{\left(k+1\right)}^2}{\underbrace{1.4+2.7+\cdot \cdot \cdot +k\left(3k+1\right)}}+\left(k+1\right)\left(3k+4\right)=k{\left(k+1\right)}^2+\left(k+1\right)\left(3k+4\right)$ 

$=(k+1).\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}[}k.(k+1)\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}+\text{}3k+\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}4]=(k\text{}+\text{}1).(k^2+\text{}4k+\text{}4)=\left(k+1\right){\left(k+2\right)}^2$(đpcm).

Vậy (1) đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

* Ta có $u_1=9^1-1=8$ chia hết cho 8 (đúng với n = 1).

* Giả sử $u_k=9^k-1$ chia hết cho 8.

Ta cần chứng minh $u_{k+1}=9^{k+1}-1$ chia hết cho 8.

Thật vậy, ta có $u_{k+1}=9^{k+1}-1={9.9}^k-1=9\left(9^k-1\right)+8=9u_k+8$.

Vì $9u_k$ và 8 đều chia hết cho 8, nên $u_{k+1}$ cũng chia hết cho 8.

Vậy với mọi số nguyên dương n thì $u_n$ chia hết cho 8.

* Với n = 2 ta có $2^{2+1}>2.2+3\iff 8>7$ (đúng).

Vậy (*) đúng với n= 2 .

 * Giả sử với n = k $,k\ge 2$ thì (*) đúng, có nghĩa ta có: $2^{k+1} > 2k + 3$(1).

* Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1, có nghĩa ta phải chứng minh:

$2^{k+2}>2(k+1)+3$

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được:

${2.2}^{k+1}>2\left(2k+3\right)\iff 2^{k+2}>4k+6>2k+5$.

 ( vì 4k + 6 >  4k +  5 >  2k +  5 )

Hay $2^{k+2} > 2 (k+1)+ 3$

Vậy  (*) đúng với n = k + 1 .

Do đó theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương $\ge 2$

Ta có:

$u_2=u_1+2=3+2=5.$ 

$u_3=u_2+2=5+2=7.$ 

$u_4=u_3+2=7+2=9.$ 

$u_5=u_4+2=9+2=11.$ 

Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát $u_n$ có dạng:

$u_n=2n+1\forall n\ge 1\left(\ast \right)$ 

Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức (*)  đúng.

Với n =1 ; $u_1 =2.1 +1 = 3$ (đúng). Vậy (*) đúng với n =1

Giả sử (*)  đúng với n =k.  Có nghĩa ta có: $u_k = 2k +1$ (2)

Ta cần chứng minh (*)  đúng với n = k+1 - có nghĩa là ta phải chứng minh:

$u_{k+1}$ = 2(k+1)+1= 2k + 3

Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo (2) ta có:

$u_{k+1}$ = $u_k$ +2 = 2k +1 +2 = 2k + 3

Vậy (*) đúng khi n = k+1 .

Kết luận (*) đúng với mọi số nguyên dương n.

Đáp án B

Xét hiệu:  

$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+1}-2-\left(\frac{1}{n}-2\right)=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}=-\frac{1}{n(n+1)}<0\forall n\in \mathbb{N}*$

Kết luận dãy số $\left(u_n\right)$ là dãy số giảm.

Chọn đáp án B