Dạng 2: Dãy số có giới hạn hữu hạn có đáp án

Thi Online Bài tập chuyên đề Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số có đáp án

Dạng 2: Dãy số có giới hạn hữu hạn có đáp án

1357 lượt thi
33 câu hỏi
50 phút

Câu 1:

Chứng minh rằng $\lim \frac{n^{2} + n}{n^{2} + 1} = 1.$

Hướng dẫn giải

Đặt $u_{n} = \frac{n^{2} + n}{n^{2} + 1}$ , ta có thể nhận xét $\lim (u_{n} - 1) = \lim (\frac{n^{2} + n}{n^{2} + 1} - 1) = \lim (\frac{n - 1}{n^{2} + 1}) = 0.$

Do đó $\lim u_{n} = 1$ . Ta được điều phải chứng minh.

Câu 2:

Chứng minh rằng $\lim \frac{3 n - 1}{2 n + 1} = \frac{3}{2} .$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Đặt $u_{n} = \frac{3 n - 1}{2 n + 1},$ ta có nhận xét:

$\lim (u_{n} - \frac{3}{2}) = \lim (\frac{3 n - 1}{2 n + 1} - \frac{3}{2}) = \lim \frac{- 5}{2 n + 1} = 0.$

Do đó

\lim u_{n} = \frac{3}{2} .

Ta được điều phải chứng minh.

Câu 3:

Chứng minh các giới hạn sau:

a) $\lim (\frac{- n^{3}}{n^{3} + 1}) = - 1.$

Xem đáp án

hướng dẫn giải

a) Ta có $\lim (\frac{- n^{3}}{n^{3} + 1} - (- 1)) = \lim \frac{1}{n^{3} + 1} .$

xét dãy $u_{n} = \frac{1}{n^{3} + 1} \Rightarrow |u_{n}| = \frac{1}{n^{3} + 1} < \frac{1}{n^{3}} = v_{n}, \forall n$ và $\lim v_{n} = \lim \frac{1}{n^{3}} = 0$

nên $\lim \frac{1}{n^{3} + 1} = 0.$

Do đó $\lim (\frac{- n^{3}}{n^{3} + 1}) = - 1.$

Ta được điều phải chứng minh.

Câu 4:

Chứng minh các giới hạn sau:

b, $\lim (\frac{n^{2} + 3 n + 2}{2 n^{2} + n}) = \frac{1}{2} .$

Xem đáp án

b) Ta có $\lim (\frac{n^{2} + 3 n + 2}{2 n^{2} + n} - \frac{1}{2}) = \lim \frac{5 n + 4}{2 (2 n^{2} + n)} .$

Xét dãy $u_{n} = \frac{5 n + 4}{2 (2 n^{2} + n)}$

$\Rightarrow |u_{n}| = \frac{5 n + 4}{2 (2 n^{2} + n)} < \frac{5 n + 4}{4 n^{2}} = \frac{5}{4 n} + \frac{1}{n^{2}} = v_{n}, \forall n .$

Mà $\lim v_{n} = \lim \frac{5}{4 n} + \lim \frac{1}{n^{2}} = 0$ nên $\lim \frac{3}{2 (3 n^{2} + n)} = 0.$

Do đó $\lim (\frac{n^{2} + 3 n + 2}{2 n^{2} + n}) = \frac{1}{2} .$

Ta được điều phải chứng minh.

Câu 5:

Chứng minh có giới hạn: $\lim (\frac{{3.3}^{n} - \sin 3 n}{3^{n}}) = 3.$

Xem đáp án

Hướng dẫn giải

Ta có $\lim (\frac{{3.3}^{n} - \sin 3 n}{3^{n}} - 3) = \lim (\frac{- \sin 3 n}{3^{n}}) .$

Ta lại có $\frac{|\sin 3 n|}{3^{n}} \leq \frac{1}{3^{n}} = {(\frac{1}{3})}^{n} \forall n$ và $\lim {(\frac{1}{3})}^{n} = 0$ , nên $\lim (\frac{- \sin 3 n}{3^{n}}) = 0.$