Bài tập Nhị thức Newton cơ bản, nâng cao có lời giải (P1)

Cho khai triển 

$$\begin{gathered} {\left(3-2x+x^2\right)}^9 \\ =a_0{x}^{18}+a_1{x}^{17}+a_2{x}^{16}+...+a_{18}. \end{gathered}$$

Giá trị của $a_{15}$ bằng

Giả sử a, b là các số thực sao cho $x^3+y^3=a.{10}^{3z}+b.{10}^{2z}$ đúng với mọi các số thực dương x, y, z thỏa mãn 

$\log \left(x+y\right)=z$ và $\log \left(x^2+y^2\right)=z+1$. Giá trị của a+b bằng

Cho $\overline{)k,n}\left(k<n\right)$ là các số nguyên dương. Mệnh đề nào sau đây sai?

Cho biểu thức $P={\left(\frac{x+1}{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x+1}}-\frac{x-1}{x-\sqrt{x}}\right)}^{10}$ với x>0, x$\ne$1. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của P.

Tìm hệ số của $x^5$ trong khai triển nhị thức Newton ${\left(x\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)}^n$, biết tổng các hệ số của khai triển bằng 128

Tổng của n số hạng đầu tiên của một dãy số $\left(a_n\right), n\ge 1$ là $S_n=2n^2+3n$. Khi đó 

Cho dãy số $\left(U_n\right)$ xác định bởi $\left(U_1\right)=\frac{1}{3}$ và $U_{n+1}=\frac{n+1}{3n}{U}_n$. Tổng $S=U_1+\frac{U_2}{2}+\frac{U_3}{3}+...+\frac{U_{10}}{10}$bằng

Cho n là số nguyên dương thỏa mãn: $A_n^2=C_n^2+C_n^1+4n+6$. Hệ số của số hạng chứa $x^9$của khai triển biểu thức $P\left(x\right)={\left(x^2+\frac{3}{n}\right)}^n$ bằng:

Tính tổng $S=1+2.2+3.2^2+4.2^3+...+2018.2^{2017}$

Tìm hệ số của số hạng chứa $x^9$trong khai triển nhị thức Newton $\left(1+2x\right){\left(3+x\right)}^{11}$.

Tìm hệ số của $x^9$ trong khai triển biểu thức ${\left(2x^4-\frac{3}{x^3}\right)}^4$

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên k sao cho $C_{14}^k, C_{14}^{k+1}, C_{14}^{k+2}$ theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Tính tích tất cả các phần tử của S.

Tìm hệ số của $x^4$ trong khai triển nhị thức Newton ${\left(2x+\frac{1}{\sqrt[5]{x}}\right)}^n$với x > 0, biết n là số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn $A_n^5 \le 18A_{n-2}^4$

Trong khai triển biểu thức ${\left(x+y\right)}^{21}$ hệ số của số hạng chứa $x^{13}{y}^8$ là

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton ${\left(x-\frac{2}{x^2}\right)}^{21}$, (x$\ne$0, $n\in N^{*}$)

Biết rằng hệ số của $x^4$ trong khai triển nhị thức Newton ${\left(2-x\right)}^n, \left(n\in N^{*}\right)$ bằng 60. Tìm n.

Tìm tất cả các số a trong khai triển của $\left(1+ax\right){\left(1+x\right)}^4$ có chứa số hạng $22x^3$

Tìm hệ số của $x^5$ trong khai triển $P\left(x\right)={\left(x+1\right)}^6+{\left(x+1\right)}^7+...+{\left(x+1\right)}^{12}$

Cho đa thức $$\begin{gathered} p\left(x\right)={\left(1+x\right)}^8+{\left(1+x\right)}^9 \\ +{\left(1+x\right)}^{10}+{\left(1+x\right)}^{11}{\left(1+x\right)}^{12} \end{gathered}$$. Khai triển và rút gọn ta được đa thức:  $$\begin{gathered} P\left(x\right)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2 \\ +...+a_{12}{x}^{12} \end{gathered}$$. Tìm hệ số $a_8$

Cho đa thức $$\begin{gathered} p\left(x\right)={\left(1+x\right)}^8+{\left(1+x\right)}^9 \\ +{\left(1+x\right)}^{10}+{\left(1+x\right)}^{11}{\left(1+x\right)}^{12} \end{gathered}$$. Khai triển và rút gọn ta được đa thức:  $$\begin{gathered} P\left(x\right)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2 \\ +...+a_{12}{x}^{12} \end{gathered}$$. Tìm tổng các hệ số $a_i,i=0,1,2,...,12$