299 câu trắc nghiệm Tổ hợp xác suất từ đề thi đại học có lời giải chi tiết(P8)

Chọn D

Gọi A là biến cố “ Xếp 7 người sao cho đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn ông”

Ta có: 

Xếp thỏa mãn đề bài theo các bước sau:

+Cố định đứa trẻ vào 1 ghế.

+Vì đứa trẻ ngồi giữa 2 người đàn ông nên xếp 2 người đàn ông ngồi bên cạnh đứa trẻ

có:  $A_4^2$ (cách)

+Xếp 2 người đàn ông còn lại và 2 người đàn bà vào 4 ghế còn lại có: 4! (cách)

Vậy 

Chọn A

Cách 1:

Ta có S là tập hợp các số tự nhiên gồm 9 chữ số được lập từ X = {6;7;8}, trong đó chữ số 6 xuất hiện 2 lần; chữ số 7 xuất hiện 3 lần; chữ số 8 xuất hiện 4 lần nên

Có  cách xếp 2 chữ số 6 vào 2 trong 9 vị trí

Có  cách xếp 3 chữ số 7 vào 3 trong 7 vị trí còn lại

Có 1 cách xếp 4 chữ số 8 vào 4 trong 4 vị trí còn lại

Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S nên 

Gọi A là biến cố “số được chọn là số không có chữ số 7 đứng giữa hai chữ số 6”

TH1: 2 chữ số 6 đứng liền nhau

Có 8 cách xếp cho số .Trong mỗi cách như vậy có $C_7^3$  cách xếp chữ số 7 và 1 cách xếp cho các chữ số 8

Vậy có số 8.$C_7^3$.1 = 280 số

TH2: Giữa hai số 6 có đúng 1 chữ số và số đó là số 8.

Có 7 cách xếp cho số .Trong mỗi cách như vậy có $C_6^3$  cách xếp chữ số 7 và 1 cách xếp các chữ số 8

Vậy có 7.$C_6^3$ = 140 số

TH3: Giữa hai số 6 có đúng 2 chữ số và đó là hai chữ số 8.

Tương tự Có 6.$C_5^3$ = 60 số

TH4: Giữa hai số 6 có đúng 3 chữ số và đó là ba chữ số 8.

Có 5.$C_4^3$ = 20 số

TH5: Giữa hai số 6 có đúng 4 chữ số và đó là bốn chữ số 8.

Có 4.$C_4^3$ = 4 số

Từ đó suy ra 

Xác suất cần tìm là 

Cách 2:

- Số phần tử không gian mẫu 

- Tính số phần tử của biến cố A“số được chọn là số không có chữ số 7 đứng giữa hai chữ số 6”

Xếp 2 số 6 có 1 cách:  

Xếp 3 số 7 vào 2 khoảng  cách ( số cách xếp bằng số nghiệm nguyên không âm của phương trình 

Xác suất cần tìm là 

Chọn B

Ta có 

Xét $\overline{A}$ : Có ít nhất một hàng hoặc một cột chỉ toàn số chẵn.

Vì chỉ có 4 số chẵn là 2, 4, 6, 8 nên chỉ có thể có đúng một hàng hoặc đúng một cột chỉ toàn các số chẵn. Để điền như vậy cần chọn một trong số ba hàng hoặc ba cột rồi chọn 3 số chẵn xếp vào hàng hoặc cột đó, 6 số còn lại xếp tùy ý. Do đó 

Vậy 

Chọn B.

Giả sử số thứ tự trong danh sách là 

Do dãy này là cấp số cộng nên ta có 

Số phần tử của không gian mẫu là 

Gọi A là biến cố “Tổng các số thứ tự của hai em ngồi đối diện nhau là bằng nhau”. Để biến cố này xảy ra ta thực hiện liên tiếp các bước sau:

Bước 1: xếp thứ tự  cặp học sinh có các cặp số thứ tự là 

vào trước  cặp ghế đối diện nhau. Bước này có 5! cách.

Bước 2: xếp từng cặp một ngồi vào cặp ghế đối diện đã ) Chọn ở bước . Bước này có $2^5$  cách.

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 

Vậy xác suất của biến cố A là 

Chọn B

· Bổ đề: Trong mặt phẳng cho hai tia Ox và Oy vuông góc với nhau tại gốc O. Trên tia Ox lấy 10 điểm $A_1, A_2, ..., A_{10}$ và trên tia Oy lấy 10 điểm $B_1, B_2, ...., B_{10}$  thỏa mãn $O{A}_1 = A_1{A}_2 = ...= A_9{A}_{10} = O{B}_1 = B_1{B}_2 = ....= B_9{B}_{10} = 1$(đvd).

Tìm số tam giác có 2 đỉnh nằm trong 10 điểm 1 đỉnh nằm trong 10 điểm $B_1, B_2, ...., B_{10}$ sao cho tam giác chọn được có đường tròn ngoại tiếp, tiếp xúc với một trong hai trục Ox hoặc Oy?

Giải: Gọi   là 3 đỉnh của tam giác thỏa yêu cầu bài toán với 

Ta có 

Do đường tròn luôn cắt Ox tại   phân biệt nên đường tròn chỉ có thể tiếp xúc với Oy tại $B_p$ ta có phương tích 

Do nên dễ thấy 

hay nói cách khác bộ ba (m,n,p)

Vậy có 4 tam giác thỏa mãn yêu cầu bổ đề.

· Bài toán: Không gian mẫu 

Gọi A là biến cố chọn được tam giác có đường tròn ngoại tiếp tiếp xúc với một trong hai trục Ox hoặc Oy. Theo bổ đề ta chọn được 4 tam giác có 2 đỉnh thuộc tia Ox, 1 đỉnh thuộc tia Oy; tương tự có 4 tam giác có 1 đỉnh thuộc tia Oy,  đỉnh thuộc tia . Suy ra, n(A) = 8

Xác suất biến cố A là 

Chọn D

Gọi số tự nhiên có  chữ số khác nhau lấy từ các phần tử của tập A là 

+) Chọn a có 6 cách.

+) Chọn bốn chữ số b,c,d,e  có $A_6^4$  cách.

Vậy số cách lập số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau lấy từ các phần tử của tập A là

6. $A_6^4$ = 2160 cách. Do đó số phần tử của không gian mẫu là 

Gọi biến cố B: ‘‘Số tự nhiên lập được chia hết cho 5 và các chữ số 1,2,3 luôn có mặt cạnh nhau’’.

TH1: Số lập được có dạng $\overline{abcd0}$

+) Vì các chữ số 1,2,3 luôn có mặt cạnh nhau nên ta coi ba số đó là khối X. Xếp ba  số 1,2,3 trong khối X có $P_3$  cách.

+) Chọn 1 số trong tập 

+) Xếp khối X và số vừa chọn vào vị trí có $P_2$ cách.

Theo quy tắc nhân ta có $P_3$.3$P_2$ = 36 số.

TH2: Số lập được có dạng $\overline{abc05}$

+) Vì các chữ số 1,2,3 luôn có mặt cạnh nhau nên ta có $P_3$ cách chọn số a,b,c

Vậy có $P_3$ = 6 số.

TH3: Số lập được có dạng 

+) Vì các chữ số 1,2,3 luôn có mặt cạnh nhau nên ta coi ba số đó là khối X. Xếp ba số 1,2,3 trong khối X có $P_3$ cách.

+) Chọn  số trong tập {4;6} có $C_2^1$ = 2 cách.

+) Xếp khối X và số vừa chọn vào vị trí có $P_2$ cách.

Theo quy tắc nhân ta có $P_3$.2$P_2$ = 24 số.

Vậy số kết quả xảy ra của biến cố B là 

Xác suất của biến cố B là 

Chọn C

Lấy 3 phần tử từ tập S có 

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là 

Gọi A là biến cố thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đặt  có 10 phần tử.

 có 10 phần tử.

a, b, c là ba số theo thứ tự lập thành cấp số cộng => 2a = b + c

Có 2a là số chẵn, nên b và c cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Suy ra số cách chọn b, c là 

Mỗi cách chọn cặp b, c thì có duy nhất một cách chọn a sao cho 2a = b + c

Suy ra số phần tử của biến cố là 

Xác suất thỏa yêu cầu bài là 

Chọn D

Không gian mẫu được mô tả là $\Omega$ : “Các số tự nhiên có 5 chữ số khác 0”.

Số phần tử của không gian mẫu là: 

Gọi biến cố A: “Các số tự nhiên có 5 chữ số khác 0 trong đó chỉ có mặt ba chữ số khác nhau”.

Số cách chọn 3 chữ số phân biệt a, b, c từ 9 chữ số tự nhiên khác 0 là $C_9^3$ . Chọn 2 chữ số còn lại từ 3 chữ số đó, có 2 trường hợp sau:

TH1: Nếu cả 2 chữ số còn lại cùng bằng 1 trong 3 số a, b, c thì có 3 cách chọn. Mỗi hoán vị từ 5! hoán vị của 5 chữ số chẳng hạn a, a, a , b, c tạo ra một số tự nhiên; nhưng cứ  hoán vị của các vị trí mà a, a, a chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng 1 số tự nhiên. Do đó, trong TH1 có tất cả $3.\frac{5!}{5}$ số tự nhiên.

TH2: 1 trong 2 chữ số còn lại bằng 1 trong 3 chữ số  và chữ số kia bằng một chữ số a, b, c khác trong 3 chữ số đó thì có 3 cách chọn. Mỗi hoán vị từ 5! hoán vị chẳng hạn a, a, b, b, c tạo ra một số tự nhiên nhưng cứ 2! cách hoán vị a và 2! cách hoàn vị b mà vẫn cho ra cùng 1 số. Do đó, trong TH2 có tất cả: $3.\frac{5!}{2!.2!}$ số tự nhiên.

Suy ra số phần tử của biến cố A là:

Vậy xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba chữ số khác nhau là: