Dạng 3: Thiết diện và các bài toán liên quan có đáp án

21 người thi tuần này 4.6 5.6 K lượt thi 36 câu hỏi 45 phút

🔥 Học sinh cũng đã học

18 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2026-2027 THPT Việt Đức (Hà Nội) có đáp án

84 lượt thi 21 câu hỏi

18 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2026-2027 THCS&THPT Tạ Quang Bửu (Hà Nội) có đáp án

84 lượt thi 21 câu hỏi

30 người thi tuần này

Đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2026-2027 THCS&THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm (Hà Nội) có đáp án

96 lượt thi 22 câu hỏi

65 người thi tuần này

Trắc nghiệm Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập lớp 11 (có đúng sai, trả lời ngắn)

1.5 K lượt thi 20 câu hỏi

60 người thi tuần này

Trắc nghiệm Công thức cộng xác suất lớp 11 (có đúng sai, trả lời ngắn)

2.4 K lượt thi 20 câu hỏi

225 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT Phùng Khắc Khoan (Thạch Thất-Hà Nội) có đáp án - mã đề 2345

3 K lượt thi 21 câu hỏi

109 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT Phùng Khắc Khoan (Thạch Thất-Hà Nội) có đáp án - mã đề 0123

2.9 K lượt thi 21 câu hỏi

76 người thi tuần này

Đề thi cuối kì 1 Toán 11 năm 2025-2026 THPT Vạn Xuân (Hoài Đức-Hà Nội) có đáp án - Đề chẵn

2.8 K lượt thi 21 câu hỏi

Danh sách câu hỏi:

Câu 1/36

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, $S A ⊥ (A B C)$ . Gọi (P) là mặt phẳng qua B và vuông góc với SC. Thiết diện của (P) và hình chóp S.ABC là:

A. Hình thang vuông.

B. Tam giác đều.

C. Tam giác cân.

D. Tam giác vuông.

Lời giải

Chọn D

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA vuông góc mp ABC. Gọi (P) là mặt phẳng qua B và vuông góc với SC. Thiết diện của (P) và hình chóp S.ABC là: (ảnh 1)

Gọi I là trung điểm của AC, kẻ $I H ⊥ S C$

Ta có $B I ⊥ A C, B I ⊥ S A \Rightarrow B I ⊥ S C$

Do đó $B I ⊥ A C, B I ⊥ S A \Rightarrow B I ⊥ S C$ hay thiết diện là tam giác BIH

Mà $B I ⊥ (S A C)$ nên $B I ⊥ I H$ hay thiết diện là tam giác vuông.

Câu 2/36

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a = 12, gọi (P) là mặt phẳng qua B và vuông góc với AD. Thiết diện của (P) và hình chóp có diện tích bằng

A. $36 \sqrt{2}$

B. 40

C. $36 \sqrt{3}$

D. 36

Lời giải

Chọn A

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a = 12, gọi (P) là mặt phẳng qua B và vuông góc với AD. Thiết diện của (P) và hình chóp có diện tích bằng (ảnh 1)

Thiết diện là tam giác BCE, với E là trung điểm của AD. Gọi F là trung điểm của BC

Ta có:

$B E = C E = \frac{12 \sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3} E F = \sqrt{B E^{2} - B F^{2}} = 6 \sqrt{2}$

Diện tích thiết diện là: $S = \frac{1}{2} E F . B C = 36 \sqrt{2}$

Câu 3/36

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên $S A ⊥ (A B C) .$ Mặt phẳng (P) đi qua trung điểm M của AB và vuông góc với SB cắt AC, SC, SB lần lượt tại N, P, Q. Tứ giác MNPQ là hình gì ?

A. Hình thang vuông.

B. Hình thang cân.

C. Hình bình hành.

D. Hình chữ nhật.

Lời giải

Chọn A

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc mp ABC Mặt phẳng (P) đi qua trung điểm M của AB và vuông góc với SB cắt AC, SC, SB (ảnh 1)

Ta có: $\{\begin{cases} A B ⊥ B C \\ S A ⊥ B C \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ S B .$

Vậy $\{\begin{cases} B C ⊥ S B \\ (P) ⊥ S B \end{cases} \Rightarrow (P) / / B C (1) .$

Mà $(P) \cap (A B C) = M N (2) .$

Từ $(1); (2) \Rightarrow M N / / B C$

Tương tự ta có PQ // BC, PN // SA

Mà $S A ⊥ B C \Rightarrow P N ⊥ N M .$

Vậy thiết diện là hình thang MNPQ vuông tại N

Câu 4/36

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, O là trung điểm của đường cao AH của tam giác ABC, SO vuông góc với đáy. Gọi I là điểm tùy ý trên OH (không trùng với O và H). mặt phẳng (P) qua I và vuông góc với OH. Thiết diện của (P) và hình chóp S.ABC là hình gì?

A. Hình thang cân

B. Hình thang vuông

C. Hình bình hành

D. Tam giác vuông

Lời giải

Chọn A

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, O là trung điểm của đường cao AH của tam giác ABC, SO vuông góc với đáy. Gọi I là điểm tùy ý trên OH (không trùng với O và H) (ảnh 1)

Mặt phẳng (P) vuông góc với OH nên (P) song song với SO

Suy ra (P) cắt (SAH) theo giao tuyến là đường thẳng qua I và song song với SO cắt SH tại K

Từ giả thiết suy ra (P) song song BC, do đó (P) sẽ cắt (ABC), (SBC) lần lượt là các đường thẳng qua I và K song song với BC cắt AB, AC, SB, SC lần lượt tại M, N, P, Q. Do đó thiết diện là tứ giác MNPQ

Ta có MN và PQ cùng song song BC suy ra I là trung điểm của MN và K là trung điểm của PQ

Lại có các tam giác ABC đều và tam giác SBC cân tại S suy ra IK vuông góc với MN và PQ dó đó MNPQ là hình thang cân.

Câu 5/36

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b ( $a > b \sqrt{2}$ ). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SC tại điểm C₁ nằm giữa S và C. Diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P) là

A. $S = \frac{a^{2} \sqrt{3 b^{2} - a^{2}}}{4 b}$

B. $S = \frac{a^{2} \sqrt{3 b^{2} - a^{2}}}{2 b}$

C. $S = \frac{a^{2} \sqrt{3 b^{2} + a^{2}}}{2 b}$

D. $S = \frac{a^{2} \sqrt{3 b^{2} + a^{2}}}{4 b}$

Lời giải

Chọn A

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và SA = SB = SC = b ( a > b căn bậc hai 2). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Xét mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SC (ảnh 1)

Kẻ $A I ⊥ S C \Rightarrow (A I B) ⊥ S C$ . Thiết diện là tam giác AIB

Ta có $A I = A C \sin \hat{A C S} = a \sqrt{1 - \cos^{2} \hat{A C S}} = a \sqrt{1 - (\frac{a^{2} + b^{2} - b^{2}}{2 a b})} = \frac{a}{2 b} \sqrt{4 b^{2} - a^{2}}$

Gọi J là trung điểm của AB. Dễ thất tam giác AIB cân tại I , suy ra $I J ⊥ A B$

$I J = \sqrt{A I^{2} - A J^{2}} = \frac{a}{2 b} \sqrt{3 b^{2} - a^{2}}$

Do đó: $S = \frac{1}{2} A B . I J = \frac{a^{2} \sqrt{3 b^{2} - a^{2}}}{4 b}$

Câu 6/36

Tam giác ABC có BC = 2a, đường cao $A D = a \sqrt{2}$ . Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại A, lấy điểm S sao cho $S A = a \sqrt{2}$ . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của SB và SC. Diện tích tam giác AEF bằng?

A. $\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$

B. $\frac{\sqrt{3}}{6} a^{2}$

C. $\frac{1}{2} a^{2}$

D. $\frac{\sqrt{3}}{2} a^{2}$

Lời giải

Chọn C

Tam giác ABC có BC = 2a, đường cao AD = a căn bậc hai 2. Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại A, lấy điểm S sao cho . (ảnh 1)

Do $A D ⊥ B C, S A ⊥ B C \Rightarrow B C ⊥ (S A D)$

$\Rightarrow B C ⊥ A H \Rightarrow E F ⊥ A H \Rightarrow S_{Δ A E F} = \frac{1}{2} E F . A H$

Mà $E F = \frac{1}{2} B C = a$ . Do H là trung điểm $S D \Rightarrow A H = a \Rightarrow S_{Δ A E F} = \frac{1}{2} a^{2}$

Câu 7/36

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh $2 a, S A ⊥ (A B C), S A = a \frac{\sqrt{3}}{2} .$ Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với BC. Thiết diện của hình chóp S.ABC được cắt bởi (P) có diện tích bằng?

A. $\frac{3 a^{2}}{8} .$

B. $\frac{3 a^{2}}{2} .$

C. $\frac{3}{4} a^{2} .$

D. $\frac{2 a^{2}}{3} .$

Lời giải

Chọn C

Gọi M là trung điểm của BC thì $B C ⊥ A M (1) .$

Hiển nhiên $A M = a \sqrt{3} .$

Mà $S A ⊥ (A B C) \Rightarrow B C ⊥ S A (2) .$

Từ (1) và (2) suy ra $B C ⊥ (S A M) \Rightarrow (P) \equiv (S A M)$

Khi đó thiết diện của hình chóp S.ABC được cắt bởi (P) chính là $Δ S A M$

$Δ S A M$ vuông tại A nên $S_{Δ S A M} = \frac{1}{2} S A . A M = \frac{1}{2} \frac{a \sqrt{3}}{2} . a \sqrt{3} = \frac{3 a^{2}}{4} .$

Câu 8/36

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh $a, S A ⊥ (A B C), S A = a$ . Gọi (P) là mặt phẳng đi qua S và vuông góc với BC. Thiết diện của (P) và hình chóp S.ABC có diện tích bằng ?

A. $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

B. $\frac{a^{2}}{6}$

C. $\frac{a^{2}}{2}$

D. $a^{2}$

Lời giải

Chọn A

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc mp ABC, SA = a. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua S và vuông góc với BC. (ảnh 1)

Kẻ $A E ⊥ B C, S A ⊥ B C \Rightarrow B C ⊥ (S A E) \equiv (P)$

Thiết diện của mặt phẳng (P) và hình chóp (S.ABC) là tam giác SAE có diện tích: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc mp ABC, SA = a. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua S và vuông góc với BC. (ảnh 2)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc mp ABC, SA = a. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua S và vuông góc với BC. (ảnh 2)

Câu 9/36

Cho tứ diện SABC có hai mặt (ABC) và (SBC) là hai tam giác đều cạnh $a, S A = a \frac{\sqrt{3}}{2} .$ M là điểm trên AB sao cho AM = b (0 < b < a). (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với BC. Thiết diện của (P) và tứ diện SABC có diện tích bằng?

A. $\frac{3 \sqrt{3}}{4} . {(\frac{a - b}{a})}^{2} .$

B. $\frac{\sqrt{3}}{4} . {(\frac{a - b}{a})}^{2} .$

C. $\frac{3 \sqrt{3}}{16} {(\frac{a - b}{a})}^{2} .$

D. $\frac{3 \sqrt{3}}{8} {(\frac{a - b}{a})}^{2} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 10/36

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a = 12, AP là đường cao của tam giác ACD. Mặt phẳng (P) qua B vuông góc với AP cắt mp(ACD) theo đoạn giao tuyến có độ dài bằng ?

A. 9

B. 6

C. 8

D. 7

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 11/36

Cho hình chóp S.ABCD, với đáy ABCD là hình thang vuông tại A, đáy lớn AD = 8, BC = 6, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = 6. Gọi M là trung điểm AB. (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB. Thiết diện của (P) và hình chóp có diện tích bằng?

A. 10

B. 20

C. 15

D. 16

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 12/36

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Kẻ $O H ⊥ (A B C)$

a) Khẳng định nào đúng nhất?

A. H là trực tâm của tam giác ABC

B. H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC

C. H là trọng tâm của tam giác ABC

D. H là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 13/36

b) Tam giác ABC là tam giác gì?

A. Tam giác ABC là tam giác nhọn.

B. Tam giác ABC là tam giác tù

C. Tam giác ABC là tam giác vuông

D. Tam giác ABC là tam giác cân

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 14/36

c) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?

c) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất? A. S^2 ABC = 1/2S^2 OAB + 1/2S^2 OBC + 1/2S^2OCA (ảnh 6)

c) Khẳng định nào sau đây là đúng nhất? A. S^2 ABC = 1/2S^2 OAB + 1/2S^2 OBC + 1/2S^2OCA (ảnh 7)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 15/36

d) Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho

A. M thuộc mặt phẳng đi qua I và vuông góc với OG, trong đó I là điểm cách đều 4 điểm O, A, B, C và G là trọng tâm của tam giác ABC

B. M thuộc mặt phẳng đi qua I và song song với OG, trong đó I là điểm cách đều 4 điểm O, A, B, C và G là trọng tâm của tam giác ABC

C. M thuộc mặt phẳng đi qua O và vuông góc với OG, trong đó G là trọng tâm của tam giác ABC

D. M thuộc mặt phẳng đi qua O và song song với OG, trong đó G là trọng tâm của tam giác ABC

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 16/36

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $S A ⊥ (A B C D)$ và SA = a . Gọi I, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB và SC. Tính IK.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mp ABCD và SA = a . Gọi I, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB và SC. Tính IK. (ảnh 9)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mp ABCD và SA = a . Gọi I, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB và SC. Tính IK. (ảnh 10)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mp ABCD và SA = a . Gọi I, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB và SC. Tính IK. (ảnh 11)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc mp ABCD và SA = a . Gọi I, K lần lượt là trung điểm các cạnh AB và SC. Tính IK. (ảnh 12)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 17/36

Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng 2a. Trên đường thẳng qua O vuông góc với (ABCD) lấy điểm S. Biết góc giữa SA và (ABCD) có số đo bằng 45^o. Tính độ dài SO.

Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng 2a. Trên đường thẳng qua O vuông góc với (ABCD) lấy điểm S. (ảnh 3)

Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng 2a. Trên đường thẳng qua O vuông góc với (ABCD) lấy điểm S. (ảnh 4)

Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng 2a. Trên đường thẳng qua O vuông góc với (ABCD) lấy điểm S. (ảnh 5)

Cho hình vuông ABCD có tâm O và cạnh bằng 2a. Trên đường thẳng qua O vuông góc với (ABCD) lấy điểm S. (ảnh 6)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 18/36

Cho tứ diện ABCD có DA, DB, DC đôi một vuông góc. Gọi lần lượt là góc giữa các đường thẳng DA, DB, DC với mặt phẳng (ABC)

Tìm giá trị nhỏ nhất của

C. 64

B. 8

C. 1

Cho tứ diện ABCD có DA, DB, DC đôi một vuông góc. Gọi anpha, beta, gama lần lượt là góc giữa các đường thẳng DA, DB, DC với mặt phẳng (ABC) (ảnh 13)

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 19/36

Trong mặt phẳng $(α)$ cho đường tròn đường kính cố định BC và M là điểm di động trên đường tròn này. Trên đường thẳng d vuông góc với $(α)$ tại B lấy một điểm A.

a) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. các mặt của tứ diện ABMC là tam giác vuông

B. các mặt của tứ diện ABMC là tam giác vuông cân

C. tam giác ACM vuông tại A.

D. tam giác ACM vuông cân tại M

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 20/36

b) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B trên AM và AC. Khẳng định nào sau đây là sai?

C. A, B đều đúng

D. A, B đều sai

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem tiếp với tài khoản VIP

Còn 28/36 câu hỏi, đáp án và lời giải chi tiết.

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, $S A ⊥ (A B C)$ . Gọi (P) là mặt phẳng qua B và vuông góc với SC. Thiết diện của (P) và hình chóp S.ABC là: