$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{2 (x + 1) (x - 3)}{(x + 2) (x - 3)} = \frac{x^{2} + x + 8}{(x + 2) (x - 3)} \\ \Rightarrow 2 x^{2} - 4 x - 6 = x^{2} + x + 8 \Leftrightarrow x^{2} - 5 x - 14 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 7 (t / m) \\ x = - 2 (l o a i) \end{array} \\ S = \{7\} \end{array}$

Câu 5/6

Cho phương trình $x^{2} + (2 m - 1) x + m^{2} - m = 0 (1)$ (m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt . Tìm hai nghiệm đó khi m = 2

b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho $x_{1} (1 - 2 x_{2}) + x_{2} (1 - 2 x_{1}) = m^{2}$ (Với $x_{1}; x_{2}$ là hai nghiệm phương trình)

c) Với $x_{1}; x_{2}$ là hai nghiệm phương trình (1). Chứng minh rằng , với mọi giá trị của m ta luôn có $x_{1} - 2 x_{1} x_{2} + x_{2} \leq 1$

Xem đáp án

Lời giải

a) $x^{2} + (2 m - 1) x + m^{2} - m = 0$

$Δ = {(2 m - 1)}^{2} - 4 (m^{2} - m) = 4 m^{2} - 4 m + 1 - 4 m^{2} + 4 m = 1 > 0$

Nên phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m

m = 2 phương trình thành: $x^{2} + 3 x + 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = - 2 \end{array}$

b) Áp dụng hệ thức Vi et ta có: $\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 1 - 2 m \\ x_{1} x_{2} = m^{2} - m \end{cases}$

$\begin{array}{l} x_{1} (1 - 2 x_{2}) + x_{2} (1 - 2 x_{1}) = m^{2} \\ \Leftrightarrow x_{1} - 2 x_{1} x_{2} + x_{2} - 2 x_{1} x_{2} = m^{2} \\ \Leftrightarrow (x_{1} + x_{2}) - 4 x_{1} x_{2} = m^{2} \\ h a y 1 - 2 m - 4 (m^{2} - m) = m^{2} \\ \Leftrightarrow 5 m^{2} - 2 m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1 \pm \sqrt{6}}{5} \end{array}$

c) Ta có:

$\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} - 2 x_{1} x_{2} \leq 1 \\ h a y (1 - 2 m) - 2 (m^{2} - m) \leq 1 \\ \Leftrightarrow 1 - 2 m - 2 m^{2} + 2 m \leq 1 \\ \Leftrightarrow - 2 m^{2} \leq 0 (l u o n d u n g) \end{array}$

Vậy $x_{1} + x_{2} - 2 x_{1} x_{2} \leq 1$ (với mọi m)

Câu 6/6

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên cạnh AB lấy điểm E tùy ý sao cho AE = x với 0 < x < a. Qua A kẻ đường thẳng d vuông góc với CE, đường thẳng d cắt hai đường thẳng CE và CB lần lượt tại M và N

a) Chứng minh MNBE là tứ giác nội tiếp

b) Tính số đo $\hat{B M N}$

c) Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác MNBE theo a và x

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên cạnh AB lấy điểm E tùy ý sao cho AE = x (ảnh 1)

a) $\hat{N M E} + \hat{N B E} = 90^{0} + 90^{0} = 180^{0} \Rightarrow M N B E$ là tứ giác nội tiếp

b) Xét $Δ A B N$ và $Δ C B E$ có $\hat{A B N} = \hat{C B E} = 90^{0}; A B = A C (g t); \hat{N A B} = \hat{E C B}$ (cùng phụ $\hat{A N B}$ )

$\Rightarrow Δ A B N = Δ C B E (g c g) \Rightarrow B E = B N = a - x$

$\Rightarrow Δ E B N$ vuông cân tại B $\Rightarrow \hat{B E N} = 45^{0}$

Mà $\hat{B E N} = \hat{B M N} = 45^{0}$ (cùng nhìn cạnh BN) $\Rightarrow \hat{B M N} = 45^{0}$

c) Vì $\hat{E M N} = \hat{E B N} = 90^{0}$ suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp MNBE là trung điểm I của EN $\Rightarrow R = \frac{E N}{2}$

$Δ E B N $ vuông cân tại B $\Rightarrow E N = B E \sqrt{2} = (a - x) \sqrt{2} \Rightarrow R = \frac{(a - x) \sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow S_{(O)} = π R^{2} = π {(\frac{(a - x) \sqrt{2}}{2})}^{2} = \frac{π {(a - x)}^{2}}{2}$

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tiếng Anh

Công nghệ

Tin học

ĐHQG Hà Nội

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa Hà Nội

ĐHSP Hà Nội

Bộ Công an

Bộ Quốc phòng

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Viên chức

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Bright

Explore new worlds

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Văn

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Toán

Vật lý