Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 83)

13767 lượt thi
90 câu hỏi
60 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Câu 1:

Chứng minh rằng A = 1.5 + 2.6 + 3.7 + … + 2023.2027 chia hết cho 11, 23 và 2023.

Xem đáp án

Ta thấy các số hạng có dạng tổng quát là k.(k + 4) = k² + 4k

Do đó: A = 1.5 + 2.6 + 3.7 + … + 2023.2027

A = (1² + 2² + 3² + … + 2023²) + 4.(1 + 2 + 3 +… + 2023)

Mà ta có công thức: 1² + 2² + 3² + … + n² = $\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Nên A = $\frac{2023.2024.4047}{6} + 4. \frac{2023. (1 + 2023)}{2} = \frac{2023.2024.4047}{6} + 2.2024.2023$

Ta thấy: 2024 chia hết cho cả 11, 23 nên $\frac{2023.2024.4047}{6}$ chia hết cho 11, 23, 2023 đồng thời 2.2024.2023 chia hết cho 11, 23, 2023.

Vậy A chia hết cho 11, 23, 2023.

Câu 2:

Chứng minh rằng $\frac{2}{\sin 4 x} - \tan 2 x = \cot 2 x$ .

Xem đáp án

$\frac{2}{\sin 4 x} - \tan 2 x = \frac{2}{2 \sin 2 x . \cos 2 x} - \frac{\sin 2 x}{\cos 2 x} = \frac{1}{\sin 2 x . \cos 2 x} - \frac{\sin 2 x}{\cos 2 x} = \frac{\cos 2 x - \cos 2 x . \sin^{2} 2 x}{\sin 2 x . \cos^{2} 2 x} = \frac{\cos 2 x (1 - \sin^{2} 2 x)}{\sin 2 x . \cos^{2} 2 x} = \frac{\cos 2 x . \cos^{2} 2 x}{\sin 2 x . \cos^{2} 2 x} = \frac{\cos 2 x}{\sin 2 x} = c o t 2 x .$

Câu 3:

Tìm x biết: $x - \sqrt{x - 1} = 3$

Xem đáp án

Điều kiện xác định: x – 1 ≥ 0 hay x ≥ 1.

$x - \sqrt{x - 1} = 3$

⇔ $(x - 1) - \sqrt{x - 1} - 2 = 0$

Đặt $\sqrt{x - 1} = t (t \geq 0)$

Ta có: t2 – t – 2 = 0

⇔ $[\begin{array}{l} t = - 2 (L) \\ t = 1 \end{array}$

Với t = 1 thì $\sqrt{x - 1} = 1$

⇔ x – 1 = 1

⇔ x = 2.

Vậy x = 2.

Câu 4:

Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD

a) Chứng minh rằng AF // CE.

b) Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của BD và AF, CE. Chứng minh rằng DM = MN = NB.

Xem đáp án

a) Ta có: AB // CD và AB = CD vì ABCD là hình bình hành

Nên AE // CF và AE = CF = $\frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} C D$

Suy ra: AECF là hình bình hành

Vậy AF // CE

b) Xét ΔAEM có E là trung điểm của AB

EN // AM

Do đó N là trung điểm của BM

⇒ BN = NM (1)

Xét ΔDNC có F là trung điểm của DC

FM // NC

Do đó: M là trung điểm của DN

⇒ DM = MN (2)

Từ (1) và (2) suy ra DM = MN = NB.

Câu 5:

Tìm số tự nhiên n sao cho 2n + 3 chia hết cho n – 2.

Xem đáp án

Ta có: 2n + 3 = 2(n – 2) + 7

Vì 2(n – 2) chia hết cho n – 2 nên để 2n + 3 chia hết cho n – 2 thì 7 chia hết cho (n – 2)

Hay (n – 2) ∈ Ư(7)

⇒ n – 2 ∈ {1;7} (vì n là số tự nhiên)

⇒ n ∈ {3; 9}

Vậy n = 3 hoặc n = 9.

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

Bài thi liên quan:

Các bài thi hot trong chương:

Đánh giá trung bình

Thi Online Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án