Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 3)

13705 lượt thi
76 câu hỏi
70 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Câu 1:

Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) (A và B là hai tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.

Xem đáp án

Ta có $\hat{M A O} = 90 °$ (MA là tiếp tuyến của (O)).

Suy ra ba điểm M, A, O cùng thuộc đường tròn đường kính OM (1)

Ta có $\hat{M B O} = 90 °$ (MB là tiếp tuyến của (O)).

Suy ra ba điểm M, B, O cùng thuộc đường tròn đường kính OM (2)

Từ (1), (2), suy ra tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn đường kính OM.

Câu 2:

b) Từ M kẻ cát tuyến MCD với đường tròn (C nằm giữa M và D), tia MD nằm giữa hai tia MA và MO. Tia MO cắt AB tại H. Chứng minh MC.MD = MH.MO.

Xem đáp án

b) Xét ∆MAC và ∆MDA, có:

$\hat{A M C}$ chung;

$\hat{M A C} = \hat{M D A}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến AM và dây cung AC và góc nội tiếp chắn cung AC).

Do đó $Δ M A C ∽ Δ M D A$ (g.g).

Suy ra $\frac{M A}{M D} = \frac{M C}{M A}$ .

Vì vậy MA² = MC.MD (3)

Ta có OA = OB = R.

Suy ra O nằm trên đường trung trực của đoạn AB (*)

Lại có MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra M nằm trên đường trung trực của đoạn AB (**)

Từ (*), (**), suy ra OM là đường trung trực của đoạn AB.

Mà OM cắt AB tại H.

Do đó OM ⊥ AB tại H.

∆OAM vuông tại A có AH là đường cao: MA² = MH.MO (4)

Từ (3), (4), suy ra MC.MD = MH.MO.

Câu 3:

c) Qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt AM tại I, cắt AB tại K. Chứng minh C là trung điểm của IK.

Xem đáp án

c) Gọi E là giao điểm của MD và AB.

Xét ∆MCH và ∆MOD, có:

$\hat{C M H}$ chung;

$\frac{M C}{M O} = \frac{M H}{M D}$ (MC.MD = MH.MO).

Do đó $Δ M C H ∽ Δ M O D$ (g.g).

Suy ra $\hat{M H C} = \hat{M D O}$ (cặp góc tương ứng) (5)

Vì vậy tứ giác DCHO nội tiếp đường tròn.

Do đó $\hat{D H O} = \hat{D C O}$ (cùng chắn $\overset{⏜}{D O}$ ) (6)

Ta có OC = OD = R.

Suy ra ∆OCD cân tại O.

Do đó $\hat{O C D} = \hat{O D C}$ (7)

Từ (5), (6), (7), suy ra $\hat{D H O} = \hat{M H C}$ .

Mà $\hat{D H O} + \hat{D H A} = 90 °$ và $\hat{M H C} + \hat{A H C} = 90 °$ .

Suy ra $\hat{D H A} = \hat{A H C}$

Do đó HA là đường phân giác trong của ∆CDH.

Lại có AH ⊥ HM tại H.

Suy ra HM là đường phân giác ngoài của ∆CDH.

Áp dụng tính chất đường phân giác, ta được $\frac{E C}{E D} = \frac{M C}{M D} = \frac{H C}{H D}$ (8)

Ta lại có IK // AD (giả thiết).

Áp dụng định lí Thales, ta được $\frac{C I}{A D} = \frac{M C}{M D}$ và $\frac{C K}{A D} = \frac{E C}{E D}$ (9)

Từ (8), (9), suy ra $\frac{C I}{A D} = \frac{C K}{A D}$

Do đó CI = CK.

Vậy C là trung điểm của IK.

Câu 4:

Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) (A và B là hai tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.

Xem đáp án

Ta có $\hat{M A O} = 90 °$ (MA là tiếp tuyến của (O)).

Suy ra ba điểm M, A, O cùng thuộc đường tròn đường kính OM (1)

Ta có $\hat{M B O} = 90 °$ (MB là tiếp tuyến của (O)).

Suy ra ba điểm M, B, O cùng thuộc đường tròn đường kính OM (2)

Từ (1), (2), suy ra tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn đường kính OM.

Câu 5:

b) Kẻ dây AC song song với BM. Đường thẳng MC cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D (D ≠ C). Gọi E là giao điểm của AD và MB. Chứng minh BE² = DE.AE và BE = ME.

Xem đáp án

b) Xét ∆EBD và ∆EAB, có:

$\hat{B E D}$ chung;

$\hat{E B D} = \hat{E A B}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến BE và dây cung BD và góc nội tiếp chắn cung BD).

Do đó $Δ E B D ∽ Δ E A B$ (g.g).

Suy ra $\frac{B E}{A E} = \frac{D E}{B E}$ .

Vì vậy BE² = AE.DE.

Ta có $\hat{A C M} = \hat{M A D}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến AM và dây cung AD và góc nội tiếp chắn cung AD).

Mà $\hat{A C M} = \hat{D M E}$ (ME // AC và cặp góc này là cặp góc so le trong).

Suy ra $\hat{M A D} = \hat{D M E}$ .

Xét ∆EMD và ∆EAM, có:

$\hat{D E M}$ chung;

$\hat{M A D} = \hat{D M E}$ (chứng minh trên).

Do đó $Δ E M D ∽ Δ E A M$ (g.g).

Suy ra $\frac{M E}{A E} = \frac{D E}{M E}$ .

Vì vậy ME² = AE.DE.

Mà BE² = AE.DE (chứng minh trên).

Suy ra ME² = BE².

Vì vậy ME = BE.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

Bài thi liên quan:

Các bài thi hot trong chương:

Đánh giá trung bình

Thi Online Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án