Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 61)

13706 lượt thi
88 câu hỏi
120 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Câu 1:

Đa thức P (x) = 32x⁵ − 80x⁴ + 80x³ − 40x² + 10x − 1 là khai triển của nhị thức nào dưới đây?

A. (1 − 2x)⁵;

B. (1 + 2x)⁵;

C. (2x − 1)⁵;

D. (x − 1)⁵.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

P (x) = 32x⁵ − 80x⁴ + 80x³ − 40x² + 10x − 1

= 2⁵.x⁵ − 2⁴.5.x⁴ + 2⁴.5.x³ − 2³.5.x² + 2.5x − 1

= (2x)⁵ − 5.(2x)⁴ + 10.(2x)³ − 10.(2x)² + 5.2x − 1

$= {(2 x)}^{5} + C_{5}^{1} . {(- 1)}^{1} . {(2 x)}^{4} + C_{5}^{2} . {(- 1)}^{2} . {(2 x)}^{3} + C_{5}^{3} . {(- 1)}^{3} . {(2 x)}^{2}$

$+ C_{5}^{4} . {(- 1)}^{4} . {(2 x)}^{3} + {(- 1)}^{5}$

= (2x − 1)⁵

Vậy đa thức trên là khai triển của nhị thức (2x − 1)⁵.

Câu 2:

Cho đoạn thẳng AB. Vị trí của điểm M thỏa mãn: $2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} = \vec{0}$ được xác định bởi:

A. $\vec{A M} = \frac{1}{5} \vec{A B}$

B. $\vec{A M} = \frac{2}{5} \vec{A B}$

C. $\vec{A M} = \frac{3}{5} \vec{A B}$

D. $\vec{A M} = \frac{4}{5} \vec{A B}$

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $2 \vec{M A} + 3 \vec{M B} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 2 \vec{A M} = 3 \vec{M B}$

$\Leftrightarrow 2 \vec{A M} + 3 \vec{A M} = 3 \vec{M B} + 3 \vec{A M}$

$\Leftrightarrow 5 \vec{A M} = 3 (\vec{A M} + \vec{M B})$

$\Leftrightarrow 5 \vec{A M} = 3 \vec{A B}$

$\Leftrightarrow \vec{A M} = \frac{3}{5} \vec{A B}$

Vậy $\vec{A M} = \frac{3}{5} \vec{A B}$ .

Câu 3:

Cho hai điểm A, B phân biệt. Xác định điểm M biết $2 \vec{M A} - 3 \vec{M B} = \vec{0}$ .

A. M nằm trên tia AB và AM = 4AB;

B. M nằm trên tia AB và AM = AB;

C. M nằm trên tia AB và AM = 3AB;

D. M nằm trên tia AB và AM = 2AB.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $2 \vec{M A} - 3 \vec{M B} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 2 \vec{M A} - 3 (\vec{M A} + \vec{A B}) = \vec{0}$

$\Leftrightarrow 2 \vec{M A} - 3 \vec{M A} - 3 \vec{A B} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow - \vec{M A} - 3 \vec{A B} = \vec{0}$

$\Leftrightarrow \vec{A M} = 3 \vec{A B}$

Vậy M nằm trên tia AB và AB = 3AB.

Câu 4:

Cho a, b, c là 3 cạnh trong tam giác. Chứng minh rằng: $\frac{a}{b + c - a} + \frac{b}{a + c - b} + \frac{c}{a + b - c} \geq 3$ .

Xem đáp án

Đặt: $\{\begin{cases} x = b + c - a \\ y = a + c - b \\ z = a + b - c \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x + y = (b + c - a) + (a + c - b) = 2 c \\ y + z = (a + c - b) + (a + b - c) = 2 a \\ x + z = (b + c - a) + (a + b - c) = 2 b \end{cases}$

Khi đó $A = \frac{a}{b + c - a} + \frac{b}{a + c - b} + \frac{c}{a + b - c}$

$\Rightarrow 2 A = \frac{2 a}{b + c - a} + \frac{2 b}{a + c - b} + \frac{2 c}{a + b - c}$

$= \frac{y + z}{x} + \frac{x + z}{y} + \frac{x + y}{z}$

$= \frac{y}{x} + \frac{z}{x} + \frac{x}{y} + \frac{z}{y} + \frac{x}{z} + \frac{y}{z}$

$= (\frac{y}{x} + \frac{x}{y}) + (\frac{z}{y} + \frac{y}{z}) + (\frac{z}{x} + \frac{x}{z})$

Với a, b, c là ba cạnh của tam giác, thì:

$\{\begin{cases} b + c > a \\ a + c > b \\ a + b > c \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} b + c - a > 0 \\ a + c - b > 0 \\ a + b - c > 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} x > 0 \\ y > 0 \\ z > 0 \end{cases}$

Áp dụng BĐT Cô-si cho $\frac{y}{x}, \frac{x}{y}$ với x, y > 0 ta có:

$\frac{y}{x} + \frac{x}{y} \geq 2 \sqrt{\frac{y}{x} . \frac{x}{y}} = 2$

Chứng minh tương tự như vậy, ta cũng được:

$\frac{z}{y} + \frac{y}{z} \geq 2; \frac{z}{x} + \frac{x}{z} \geq 2$

Do đó:

$2 A = (\frac{y}{x} + \frac{x}{y}) + (\frac{z}{y} + \frac{y}{z}) + (\frac{z}{x} + \frac{x}{z}) \geq 2 + 2 + 2 = 6$

$\Rightarrow A = (\frac{y}{x} + \frac{x}{y}) + (\frac{z}{y} + \frac{y}{z}) + (\frac{z}{x} + \frac{x}{z}) \geq 3$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x = y = z.

Suy ra: a = b = c.

Vậy $\frac{a}{b + c - a} + \frac{b}{a + c - b} + \frac{c}{a + b - c} \geq 3$ khi a = b = c.

Câu 5:

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác. Chứng minh rằng:

$\frac{a b}{a + b - c} + \frac{b c}{b + c - a} + \frac{c a}{c + a - b} \geq a + b + c$ .

Xem đáp án

Đặt: $\{\begin{cases} x = a + b - c \\ y = b + c - a \\ z = c + a - b \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x + y = (a + b - c) + (b + c - a) = 2 b \\ y + z = (b + c - a) + (c + a - b) = 2 c \\ x + z = (a + b - c) + (c + a - b) = 2 a \end{cases}$

Với a, b, c là ba cạnh của tam giác, thì:

$\{\begin{cases} b + c > a \\ a + c > b \\ a + b > c \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} b + c - a > 0 \\ a + c - b > 0 \\ a + b - c > 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} y > 0 \\ z > 0 \\ x > 0 \end{cases}$

Khi đó $A = \frac{a b}{a + b - c} + \frac{b c}{b + c - a} + \frac{c a}{c + a - b}$

$\Rightarrow 4 A = \frac{2 a . 2 b}{a + b - c} + \frac{2 b . 2 c}{b + c - a} + \frac{2 c . 2 a}{c + a - b}$

$= \frac{(x + z) (x + y)}{x} + \frac{(x + y) (y + z)}{y} + \frac{(y + z) (x + z)}{z}$

$= \frac{x^{2} + x (y + z) + y z}{x} + \frac{y^{2} + y (z + x) + z x}{y} + \frac{z^{2} + z (x + y) + x y}{z}$

$= \frac{x (x + y + z) + y z}{x} + \frac{y (x + y + z) + z x}{y} + \frac{z (x + y + z) + x y}{z}$

$= 3 (x + y + z) + \frac{y z}{x} + \frac{z x}{y} + \frac{x y}{z}$

$= 3 (x + y + z) + \frac{{(y z)}^{2}}{x y z} + \frac{{(z x)}^{2}}{x y z} + \frac{{(x y)}^{2}}{x y z}$

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

$\frac{{(y z)}^{2}}{x y z} + \frac{{(z x)}^{2}}{x y z} \geq 2 \frac{\sqrt{{(y z)}^{2} . {(z x)}^{2}}}{x y z} = 2 \frac{z . x y z}{x y z} = 2 z$

$\frac{{(z x)}^{2}}{x y z} + \frac{{(x y)}^{2}}{x y z} \geq 2 \frac{\sqrt{{(z x)}^{2} . {(x y)}^{2}}}{x y z} = 2 \frac{x . x y z}{x y z} = 2 x$

$\frac{{(x y)}^{2}}{x y z} + \frac{{(y z)}^{2}}{x y z} \geq 2 \frac{\sqrt{{(x y)}^{2} . {(y z)}^{2}}}{x y z} = 2 \frac{y . x y z}{x y z} = 2 y$

Suy ra $\frac{{(y z)}^{2}}{x y z} + \frac{{(z x)}^{2}}{x y z} + \frac{{(x y)}^{2}}{x y z} \geq \frac{2 z + 2 x + 2 y}{2} = x + y + z$

Khi đó:

$4 A = 3 (x + y + z) + \frac{{(y z)}^{2}}{x y z} + \frac{{(z x)}^{2}}{x y z} + \frac{{(x y)}^{2}}{x y z} \geq 3 (x + y + z) + (x + y + z)$

Þ 4A ≥ 4(x + y + z)

Þ A ≥ (x + y + z) = a + b + c

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: a = b = c.

Vậy $\frac{a b}{a + b - c} + \frac{b c}{b + c - a} + \frac{c a}{c + a - b} \geq a + b + c$ khi và chỉ khi a = b = c.

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

Bài thi liên quan:

Các bài thi hot trong chương:

Đánh giá trung bình

Thi Online Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án