Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 55)

13790 lượt thi
91 câu hỏi
120 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Câu 1:

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{a + 2b + 3}} + \frac{1}{{b + 2c + 3}} + \frac{1}{{c + 2a + 3}}\).

Xem đáp án

Ta có: a + 2b + 3 = (a + b) + (b + 1) + 2

\( \ge 2\sqrt {ab} + 2\sqrt b + 2\)

\[ \Rightarrow \frac{1}{{a + 2b + 3}} \le \frac{1}{{2\left( {\sqrt {ab} + \sqrt b + 1} \right)}}\]

Làm tương tự như vậy, ta lại có:

\[\frac{1}{{b + 2c + 3}} \le \frac{1}{{2\left( {\sqrt {bc} + \sqrt c + 1} \right)}};\;\frac{1}{{c + 2a + 3}} \le \frac{1}{{2\left( {\sqrt {ca} + \sqrt a + 1} \right)}}\]

Từ đó suy ra: \(P = \frac{1}{{a + 2b + 3}} + \frac{1}{{b + 2c + 3}} + \frac{1}{{c + 2a + 3}}\)

\[ \le \frac{1}{{2\left( {\sqrt {ab} + \sqrt b + 1} \right)}} + \frac{1}{{2\left( {\sqrt {bc} + \sqrt c + 1} \right)}} + \frac{1}{{2\left( {\sqrt {ca} + \sqrt a + 1} \right)}}\]

Bởi vì \(abc = 1 \Rightarrow \sqrt {abc} = 1\)

\( \Rightarrow P \le \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{\sqrt {ab} + \sqrt b + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {bc} + \sqrt c + 1}} + \frac{1}{{\sqrt {ca} + \sqrt a + 1}}} \right)\)

\( \Rightarrow P \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt {abc} }}{{\sqrt {ab} + \sqrt b \,.\,\sqrt {abc} + \sqrt {abc} }} + \frac{1}{{\sqrt {bc} + \sqrt c + 1}} + \frac{{\sqrt {abc} }}{{\sqrt {ca} + \sqrt a + \sqrt {abc} }}} \right)\)

\( \Rightarrow P \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt c }}{{1 + \sqrt {bc} + \sqrt c }} + \frac{1}{{\sqrt {bc} + \sqrt c + 1}} + \frac{{\sqrt {bc} }}{{\sqrt c + 1 + \sqrt {bc} }}} \right)\)

\( \Rightarrow P \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt c + 1 + \sqrt {bc} }}{{1 + \sqrt {bc} + \sqrt c }}} \right) = \frac{1}{2}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.

Vậy GTLN của P là \(\frac{1}{2}\) khi a = b = c = 1.

Câu 2:

Cho các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = \frac{a}{{\sqrt {a + bc} }} + \frac{b}{{\sqrt {b + ca} }} + \frac{c}{{\sqrt {c + ab} }}\).

Xem đáp án

Ta có a + b + c = 1 nên suy ra:

\[\frac{a}{{\sqrt {a + bc} }} = \frac{a}{{\sqrt {a\left( {a + b + c} \right) + bc} }} = \frac{a}{{\sqrt {{a^2} + ab + ac + bc} }}\]

\[ = \frac{a}{{\sqrt {a\left( {a + b} \right) + c\left( {a + b} \right)} }} = \frac{a}{{\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} }} = \sqrt {\frac{a}{{a + b}}} \,.\,\sqrt {\frac{a}{{a + c}}} \]

\( \le \frac{1}{2}\left( {\frac{a}{{a + b}} + \frac{a}{{a + c}}} \right)\)

Làm tương tự như vậy, ta lại có:

\(\frac{b}{{\sqrt {b + ca} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{b}{{b + c}} + \frac{b}{{b + a}}} \right);\;\frac{c}{{\sqrt {c + ab} }} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{c}{{c + a}} + \frac{c}{{c + b}}} \right)\)

Do đó: \(P = \frac{a}{{\sqrt {a + bc} }} + \frac{b}{{\sqrt {b + ca} }} + \frac{c}{{\sqrt {c + ab} }}\)

\( \le \frac{1}{2}\left( {\frac{a}{{a + b}} + \frac{a}{{a + c}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{b}{{b + c}} + \frac{b}{{b + a}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{c}{{c + a}} + \frac{c}{{c + b}}} \right)\)

\[ = \frac{1}{2}\left( {\frac{a}{{a + b}} + \frac{a}{{a + c}} + \frac{b}{{b + c}} + \frac{b}{{b + a}} + \frac{c}{{c + a}} + \frac{c}{{c + b}}} \right)\]

\[ = \frac{1}{2}\left( {\frac{{a + b}}{{a + b}} + \frac{{a + c}}{{a + c}} + \frac{{b + c}}{{b + c}}} \right)\]

\[ = \frac{1}{2}\left( {1 + 1 + 1} \right) = \frac{3}{2}\].

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = \frac{1}{3}\).

Vậy GTLN của P là \(\frac{3}{2}\) khi \(a = b = c = \frac{1}{3}\).

Câu 3:

Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho.

Xem đáp án

Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a (ảnh 1)

Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ đều nên AA' ⏊ (ABC) và tam giác ABC đều.

Tam giác ABC là tam giác đều có cạnh a nên \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Cạnh bên của lăng trụ bằng 2a nên AA' = 2a.

Vậy thể tích của khối lăng trụ đã cho là:

\({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'\,.\,{S_{\Delta ABC}} = 2a\,.\,\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).

Câu 4:

Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng a. Tính thể tích của khối lăng trụ đó.

Xem đáp án

Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy và cạnh bên cùng bằng a. Tính thể (ảnh 1)

Khối lăng trụ đều là khối lăng trụ đứng có các cạnh bên và các cạnh đáy bằng nhau.

Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ đều nên AA' ⏊ (ABC) và tam giác ABC đều.

Tam giác ABC là tam giác đều có cạnh a nên \({S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Cạnh bên của lăng trụ bằng a nên AA' = a.

Vậy thể tích của khối lăng trụ đã cho là:

\({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'\,.\,{S_{\Delta ABC}} = a\,.\,\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\).

Câu 5:

Có bao nhiêu giá trị của m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = |e^2x − 4e^x + m| trên đoạn [0; ln 4] bằng 6?

Xem đáp án

Ta đặt t = e^x, với x Î [0; ln 4] Þ t Î [1; 4]

Khi đó, hàm số trở thành: g (t) = |t² − 4t + m|.

Xét hàm số u (t) = t² − 4t + m trên [1; 4], có u′ (t) = 2t − 4 = 0 Û t = 2.

Ta tính được u (1) = m − 3; u (2) = m − 4; u (4) = m suy ra

g (1) = |m − 3|; g (2) = |m − 4|; g (4) = |m|

• TH1: \[\left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 4} \right| \le \left\{ {\left| {m - 3} \right|;\;\left| m \right|} \right\}\\\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;\;4} \right]} g\left( t \right) = \left| {m - 4} \right| = 6\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 4} \right| \le \left\{ {\left| {m - 3} \right|;\;\left| m \right|} \right\}\\\left[ \begin{array}{l}m - 4 = 6\\m - 4 = - 6\end{array} \right.\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 4} \right| \le \left\{ {\left| {m - 3} \right|;\;\left| m \right|} \right\}\\\left[ \begin{array}{l}m = 10\\m = - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 10\].

• TH2:\[\left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 3} \right| \le \left\{ {\left| {m - 4} \right|;\;\left| m \right|} \right\}\\\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;\;4} \right]} g\left( t \right) = \left| {m - 3} \right| = 6\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 3} \right| \le \left\{ {\left| {m - 4} \right|;\;\left| m \right|} \right\}\\\left[ \begin{array}{l}m - 3 = 6\\m - 3 = - 6\end{array} \right.\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 3} \right| \le \left\{ {\left| {m - 4} \right|;\;\left| m \right|} \right\}\\\left[ \begin{array}{l}m = 9\\m = - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\]

Suy ra trường hợp trên không cho giá trị m thảo mãn.

• TH3: \[\left\{ \begin{array}{l}\left| m \right| \le \left\{ {\left| {m - 3} \right|;\;\left| {m - 4} \right|} \right\}\\\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;\;4} \right]} g\left( t \right) = \left| m \right| = 6\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| m \right| \le \left\{ {\left| {m - 3} \right|;\;\left| {m - 4} \right|} \right\}\\\left[ \begin{array}{l}m = 6\\m = - 6\end{array} \right.\end{array} \right.\]

Û m = −6.

Vậy m Î {−6; 10} là hai giá trị cần tìm.

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

Bài thi liên quan:

Các bài thi hot trong chương:

Đánh giá trung bình

Thi Online Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án