Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 24)

13719 lượt thi
59 câu hỏi
50 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Câu 1:

Cho bốn số nguyên dương a, b, c, d thỏa mãn a² + b² = c² + d². Chứng minh rằng a + b + c + d là hợp số.

Xem đáp án

Ta có a² + b² = c² + d².

Suy ra a² + b² + c² + d² = 2(c² + d²) ⋮ 2 (1)

Xét A = (a² + b² + c² + d²) – (a + b + c + d).

= (a² – a) + (b² – b) + (c² – c) + (d² – d).

= a(a – 1) + b(b – 1) + c(c – 1) + d(d – 1).

Vì a và a – 1 là hai số nguyên liên tiếp nên tích a(a – 1) chia hết cho 2.

Tương tự như vậy, ta có b(b – 1) ⋮ 2, c(c – 1) ⋮ 2 và d(d – 1) ⋮ 2.

Khi đó A ⋮ 2 (2)

Từ (1), (2), suy ra a + b + c + d chia hết cho 2.

Mà a, b, c, d là các số nguyên dương.

Suy ra a + b + c + d > 2.

Vậy a + b + c + d là hợp số.

Câu 2:

Cho x + y = 3. Tính giá trị biểu thức:

A = x³ + x²y – 3x² + xy + y² – 4y – x + 3.

Xem đáp án

Ta có A = x³ + x²y – 3x² + xy + y² – 4y – x + 3.

= (x³ + x²y – 3x²) + (xy + y² – 3y) – (x + y – 3).

= x²(x + y – 3) + y(x + y – 3) – (x + y – 3).

= (x + y – 3)(x² + y – 1).

= (3 – 3)(x² + y – 1).

= 0.(x² + y – 1).

= 0.

Vậy A = 0 khi x + y = 3.

Câu 3:

Cho hình vuông, nếu giảm cạnh hình vuông đó đi 7 m thì diện tích giảm đi 84 m². Tính diện tích hình vuông ban đầu.

Xem đáp án

Gọi cạnh hình vuông ban đầu là a (a > 0; m).

Cạnh hình vuông sau khi giảm đi 7 m là a – 7 (m).

Diện tích hình vuông ban đầu là: a × a.

Diện tích hình vuông sau khi giảm cạnh hình vuông đi 7 m là:

(a – 7) × (a – 7) = a × a – 84.

a × a – 7 × a – 7 × a + 7 × 7 = a × a – 84.

–14 × a + 49 = –84.

14 × a = 133.

a = 133 : 14.

a = 9,5 (m).

Diện tích hình vuông ban đầu là: 9,5 × 9,5 = 90,25 (m²).

Đáp số: 90,25 m².

Câu 4:

Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + 2x)²⁰.

Xem đáp án

Ta có hệ số của số hạng tổng quát sau khi khai triển nhị thức (1 + 2x)²⁰ là

$a_{k} = C_{20}^{k} {.1}^{20 - k} {.2}^{k} = C_{20}^{k} {.2}^{k}$ , với k ∈ ℕ, 1 ≤ k ≤ 20.

Giả sử a_k là hệ số lớn nhất trong các hệ số a₀, a₁, a₂, ..., a₂₀.

Khi đó ta có $\{\begin{cases} a_{k} \geq a_{k + 1} \\ a_{k} \geq a_{k - 1} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} C_{20}^{k} {.2}^{k} \geq C_{20}^{k + 1} {.2}^{k + 1} \\ C_{20}^{k} {.2}^{k} \geq C_{20}^{k - 1} {.2}^{k - 1} \end{cases}$ .

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{20!}{(20 - k)! . k!} \geq \frac{20! .2}{(20 - k - 1)! . (k + 1)!} \\ \frac{20!}{(20 - k)! . k!} \geq \frac{20!}{(20 - k + 1)! . (k - 1)! .2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} \frac{1}{20 - k} \geq \frac{2}{k + 1} \\ \frac{2}{k} \geq \frac{1}{21 - k} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} 3 k \geq 39 \\ 42 \geq 3 k \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} k \geq 13 \\ k \leq 14 \end{cases} \Leftrightarrow 13 \leq k \leq 14$

Mà k ∈ ℤ nên ta nhận k = 13 hoặc k = 14.

Với k = 13, ta có $a_{13} = C_{20}^{13} {.2}^{13} = 635 043 840$ .

Với k = 14, ta có $a_{14} = C_{20}^{14} {.2}^{14} = 635 043 840$ .

Vậy hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + 2x)²⁰ là 635 043 840.

Câu 5:

Tìm cạnh của hình vuông nếu cạnh của hình vuông giảm đi 7 m thì diện tích giảm đi 84 m².

Xem đáp án

Gọi cạnh hình vuông ban đầu là a (a > 0; m).

Cạnh hình vuông sau khi giảm đi 7 m là a – 7 (m).

Diện tích hình vuông ban đầu là: a × a.

Diện tích hình vuông sau khi giảm cạnh hình vuông đi 7 m là:

(a – 7) × (a – 7) = a × a – 84.

a × a – 7 × a – 7 × a + 7 × 7 = a × a – 84.

–14 × a + 49 = –84.

14 × a = 133.

a = 133 : 14.

a = 9,5 (m).

Đáp số: 9,5 m.

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

Bài thi liên quan:

Các bài thi hot trong chương:

Đánh giá trung bình

Thi Online Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án