Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 54)

13707 lượt thi
48 câu hỏi
60 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Câu 1:

Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3f(x² – 4x) = m có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt thuộc khoảng (0; +∞)?

A. 15

B. 14

C. 13

D. 12.

Xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Phương trình: 3f(x² – 4x) = m (1)

Đặt u = x² – 4x

Ta có bảng biến thiên sau

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3f(x^2 - 4x) = m có ít nhất (ảnh 2)

Ta thấy:

+) Với u < –4, phương trình (1) vô nghiệm

+) Với u = –4, phương trình (1) có một nghiệm x = 2 > 0

+) Với –4 < u < 0, phương trình (1) có hai nghiệm x > 0

+) Với u ≥ 0, phương trình (1) có một nghiệm x > 0

Khi đó 3f(x² – 4x) = m

\( \Rightarrow f\left( u \right) = \frac{m}{3}\) (2)

Ta thấy:

+) Nếu \(\frac{m}{3} = - 3 \Leftrightarrow m = - 9\) thì phương trình (2) có một nghiệm u = 0

Nên phương trình (1) có một nghiệm x > 0

+) Nếu \( - 3 < \frac{m}{3} < - 2 \Leftrightarrow - 9 < m < - 6\) thì phương trình (2) có một nghiệm u > 0 và một nghiệm u ∈ (–2; 0)

Nên phương trình (1) có ba nghiệm x > 0

+) Nếu \(\frac{m}{3} = - 2 \Leftrightarrow m = - 6\) thì phương trình (2) có một nghiệm u = –4, một nghiệm u ∈ (–2; 0) và một nghiệm u > 0

Nên phương trình (1) có bốn nghiệm x > 0

+) Nếu \( - 2 < \frac{m}{3} < 2 \Leftrightarrow - 6 < m < 6\) thì phương trình (2) có một nghiệm u < –4, hai nghiệm u ∈ (–4; 0) và một nghiệm u > 0

Nên phương trình (1) có năm nghiệm x > 0

+) Nếu \(\frac{m}{3} = 2 \Leftrightarrow m = 6\) thì phương trình (2) có một nghiệm u < –4, một nghiệm u = –2 và một nghiệm u > 0

Nên phương trình (1) có ba nghiệm x > 0

+) Nếu \(\frac{m}{3} > 2 \Leftrightarrow m > 6\) thì phương trình (2) có một nghiệm u < –4 và một nghiệm u > 0

Nên phương trình (1) có một nghiệm x > 0

Suy ra –9 < m ≤ 6

Do đó m ∈ {–8; –7; –6; –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 2:

Tìm m để \(y = \frac{{{x^2} + m{\rm{x}}}}{{1 - x}}\) có cực trị và khoảng cách giữa 2 điểm cực trị bằng 10.

Xem đáp án

\(y' = \frac{{ - \left( {{x^2} - 2{\rm{x}} - m} \right)}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\)

Để hàm số \(y = \frac{{{x^2} + m{\rm{x}}}}{{1 - x}}\) có 2 cực trị

⇔ y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

⇔ x² – 2x – m = 0 có hai nghiệm phân biệt

Điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = - 1 - m \ne 0\\\Delta ' = 1 + m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m > - 1\)

Theo định lý Vi – ét, hai nghiệm của phương trình thỏa mãn

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}.{x_2} = - m\end{array} \right.{\rm{ }}(1)\)

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là

\({d^2} = {\left( {{{\rm{x}}_1} - {x_2}} \right)^2} + {\left( {{y_1} - {y_2}} \right)^2} = {\left( {{{\rm{x}}_1} - {x_2}} \right)^2} + {\left( { - {x_1} + \frac{{m + 1}}{{1 - {x_1}}} + {x_2} - \frac{{m + 1}}{{1 - {x_2}}}} \right)^2} = 100\)

\( \Leftrightarrow {x_1}^2 - 2{{\rm{x}}_1}{x_2} + {x_2}^2 + {\left( {{x_2} - {x_1} + \frac{{\left( {m + 1} \right)\left( {1 - {x_2}} \right) - \left( {m + 1} \right)\left( {1 - {x_1}} \right)}}{{\left( {1 - {x_1}} \right)\left( {1 - {x_2}} \right)}}} \right)^2} = 100\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x_1}^2 + 2{{\rm{x}}_1}{x_2} + {x_2}^2} \right) - 4{{\rm{x}}_1}{x_2} + {\left( {{x_2} - {x_1} + \frac{{m - m{{\rm{x}}_2} + 1 - {x_2} - m + m{{\rm{x}}_1} - 1 + {x_1}}}{{\left( {1 - {x_1}} \right)\left( {1 - {x_2}} \right)}}} \right)^2} = 100\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{{\rm{x}}_1}{x_2} + {\left( {{x_2} - {x_1} + \frac{{ - m{{\rm{x}}_2} - {x_2} + m{{\rm{x}}_1} + {x_1}}}{{1 - {x_1} - {x_2} + {x_1}{x_2}}}} \right)^2} = 100\)

\( \Leftrightarrow {2^2} - 4.\left( { - m} \right) + {\left( {{x_2} - {x_1} + \frac{{ - m{{\rm{x}}_2} - {x_2} + m{{\rm{x}}_1} + {x_1}}}{{1 - 2 - m}}} \right)^2} = 100\)

\( \Leftrightarrow 4 + 4m + {\left( {{x_2} - {x_1} + \frac{{ - m{{\rm{x}}_2} - {x_2} + m{{\rm{x}}_1} + {x_1}}}{{ - 1 - m}}} \right)^2} = 100\)

\( \Leftrightarrow 4 + 4m + {\left( {\frac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( { - 1 - m} \right) - m{{\rm{x}}_2} - {x_2} + m{{\rm{x}}_1} + {x_1}}}{{ - 1 - m}}} \right)^2} = 100\)

\( \Leftrightarrow 4 + 4m + {\left( {\frac{{ - {x_2} - m{{\rm{x}}_2} + {x_1} + m{{\rm{x}}_1} - m{{\rm{x}}_2} - {x_2} + m{{\rm{x}}_1} + {x_1}}}{{ - 1 - m}}} \right)^2} = 100\)

\( \Leftrightarrow 4 + 4m + {\left( {\frac{{2{x_2} + 2m{{\rm{x}}_2} - 2{x_1} - 2m{{\rm{x}}_1}}}{{1 + m}}} \right)^2} = 100\)

\( \Leftrightarrow 4 + 4m + 4{\left( {\frac{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {1 + m} \right)}}{{1 + m}}} \right)^2} = 100\)

\( \Leftrightarrow 4 + 4m + 4{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} = 100\)

\( \Leftrightarrow 4 + 4m + 4\left[ {{{\left( {{x_2} + {x_1}} \right)}^2} - 2{{\rm{x}}_1}{x_2}} \right] = 100\)

\( \Leftrightarrow 4 + 4m + 4\left( {4 + 4m} \right) = 100\)

\( \Leftrightarrow 20m + 20 = 100\)

\( \Leftrightarrow 20m = 80\)

\( \Leftrightarrow m = 4\)

Vậy m = 4.

Câu 3:

Phân tích đa thức thành nhân tử (x + y)³ – ( x – y)³.

Xem đáp án

Ta có:

\(\begin{array}{l}{(x + y)^3} - {(x - y)^3}\\ = {x^3} + 3{x^2}y + 3x{y^2} + {y^3} - {x^3} + 3{x^2}y - 3x{y^2} + {y^3}\\ = 6{x^2}y + 2{y^3}\\ = 2y\left( {3{x^2} + {y^2}} \right).\end{array}\)

Câu 4:

Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x² + 6x + 9.

Xem đáp án

Ta có:

x² + 6x + 9

= x² + 2 . 3 . x + 3²

= (x + 3)².

Câu 5:

Cho \(A = \frac{1}{{2 + 2\sqrt a }} + \frac{1}{{2 - 2\sqrt a }} - \frac{{{a^2} + 1}}{{1 - {a^2}}}\)

a) Tìm điều kiện xác định rồi rút gọn A

b) Tìm a để \[{\rm{A}} < \frac{1}{3}\].

Xem đáp án

a) Điều kiện xác định a ≥ 0, a ≠ 1

\(A = \frac{1}{{2 + 2\sqrt a }} + \frac{1}{{2 - 2\sqrt a }} - \frac{{{a^2} + 1}}{{1 - {a^2}}}\)

\({\rm{A}} = \frac{1}{{2\left( {1 + \sqrt a } \right)}} + \frac{1}{{2\left( {1 - \sqrt a } \right)}} - \frac{{{a^2} + 1}}{{\left( {1 - a} \right)\left( {1 + a} \right)}}\)

\({\rm{A}} = \frac{1}{{2\left( {1 + \sqrt a } \right)}} + \frac{1}{{2\left( {1 - \sqrt a } \right)}} - \frac{{{a^2} + 1}}{{\left( {1 - \sqrt a } \right)\left( {1 + \sqrt a } \right)\left( {1 + a} \right)}}\)

\(A = \frac{{\left( {1 - \sqrt a } \right)\left( {1 + a} \right) + \left( {1 + \sqrt a } \right)\left( {1 + a} \right) - \left( {{a^2} + 1} \right)2}}{{2\left( {1 + \sqrt a } \right)\left( {1 - \sqrt a } \right)\left( {1 + a} \right)}}\)

\(A = \frac{{1 + a - \sqrt a - a\sqrt a + 1 + a + \sqrt a + a\sqrt a - 2{a^2} + 2}}{{2\left( {1 + \sqrt a } \right)\left( {1 - \sqrt a } \right)\left( {1 + a} \right)}}\)

\({\rm{A}} = \frac{{2a - 2{a^2}}}{{2\left( {1 - a} \right)\left( {1 + a} \right)}}\)

\({\rm{A}} = \frac{{2a\left( {1 - a} \right)}}{{2\left( {1 - a} \right)\left( {1 + a} \right)}}\)

\({\rm{A}} = \frac{a}{{1 + a}}\)

b) Để \[{\rm{A}} < \frac{1}{3}\]\( \Leftrightarrow \frac{a}{{1 + a}} < \frac{1}{3}\)

\( \Leftrightarrow \frac{a}{{1 + a}} - \frac{1}{3} < 0\)\( \Leftrightarrow \frac{{3a - a - 1}}{{1 + a}} < 0\)

\( \Leftrightarrow 2{\rm{a}} - 1 < 0\)\( \Leftrightarrow {\rm{a}} < \frac{1}{2}\)

Mà a ≥ 0, a ≠ 1

Suy ra \({\rm{0}} \le {\rm{a}} < \frac{1}{2}\)

Vậy \({\rm{0}} \le {\rm{a}} < \frac{1}{2}\).

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

Bài thi liên quan:

Các bài thi hot trong chương:

Đánh giá trung bình

Thi Online Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án