Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 34)

13773 lượt thi
47 câu hỏi
50 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Câu 1:

Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi D là trung điểm của AB, E là trọng tâm tam giác ACD. Chứng minh rằng OE vuông góc với CD.

Xem đáp án

Lời giải

Gọi M là trung điểm của AC, G là trọng tâm của tam giác ABC

Nối E với G; O với D

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(MG = \frac{1}{3}MB\)

Vì E là trọng tâm của tam giác ACD nên \(ME = \frac{1}{3}MD\)

Xét tam giác DMB có \(\frac{{MG}}{{MB}} = \frac{{ME}}{{M{\rm{D}}}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)\)

Suy ra EG // AB (Định lí Ta lét)

Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên O là giao của 3 đường trung trực

Suy ra OD là đường trung trực của AB

Do đó OD ⊥ AB

Mà EG // AB, suy ra EG ⊥ OD (1)

Xét tam giác ABC cân tại A có AO là đường trung trực nên đồng thời là đường trung tuyến

Mà AG cũng là đường trung tuyến (Vì G là trọng tâm tam giác)

Suy ra AO trùng với AG

Hay A; O; G thẳng hàng.

Mặt khác AO ⊥ BC (vì AO là đường trung trực của đoạn BC)

DM // BC (vì DM là đường trung bình của tam giác ABC)

Suy ra AO ⊥ BC hay OG ⊥BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra OD và OG là hai đường cao của tam giác DEG

Mà OD cắt OG tại O, suy ra O là trực tâm của tam giác DEG

Do đó OE ⊥ DG hay OE ⊥ DC

Vậy OE ⊥ DC.

Câu 2:

Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2. Điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho \[{\rm{A}}M = \frac{{AC}}{4}\]. Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng DC. Tính \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MN} \).

A. –4;

B. 0;

C. 4;

D. 16.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: \(MB = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} \)

\( = \overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} ) = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} \)

\(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} \)

\( = \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} - \frac{1}{4}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} )\)

\( = \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} )\)

\( = \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} \)

Suy ra \(\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MN} = \left( {\frac{3}{4}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} } \right)\left( {\frac{3}{4}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} } \right)\)

\( = \frac{1}{{16}}\left( {3\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + 3{{\overrightarrow {AB} }^2} - 3{{\overrightarrow {AD} }^2} - \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} } \right)\)

\( = \frac{1}{{16}}\left( {0 + 3{a^2} - 3{a^2} - 0} \right) = 0\).

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 3:

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2. Tính \(T = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} } \right|\).

Xem đáp án

Lời giải

Ta có:\(T = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right|\)

\(T = \left| {\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) + \overrightarrow {AC} } \right|\)

\(T = \left| {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AC} } \right|\)

\(T = \left| {2\overrightarrow {AC} } \right|\)

\(T = 2AC\)

\(T = 2.2\sqrt 2 \)

\(T = 4\sqrt 2 \)

Vậy \(T = \left| {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {A{\rm{D}}} } \right| = 4\sqrt 2 .\)

Câu 4:

Cho tam giác ABC cân tại A, O là trung điểm của BC. Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC tại H và K. Lấy E bất kỳ thuộc cung nhỏ HK. Vẽ tiếp tuyến tại E cắt AB, AC ở M, N.

a) Giả sử \(\widehat B = \widehat C = \alpha \). Tính \(\widehat {MON}\).

b) Chứng minh rằng OM, ON chia tứ giác BMNC thành ba tam giác đồng dạng.

c) Giả sử BC = 2a. Tính BM . CN.

d) MN ở vị trí nào thì tổng BM + CN nhỏ nhất?

Xem đáp án

Lời giải

a) Xét tam giác ABC có

\(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (tổng ba góc trong một tam giác)

Hay \(\widehat A + \alpha + \alpha = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat A = 180^\circ - 2\alpha \)

Xét tứ giác AHOK có

\(\widehat {AHO} + \widehat {AK{\rm{O}}} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)

Suy ra tứ giác AHOK nội tiếp

Do đó \(\widehat {HAK} + \widehat {HOK} = 180^\circ \)

Hay \(180^\circ - 2\alpha + \widehat {HOK} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {HOK} = 2\alpha \)

Xét (O) có MH, ME là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M

Suy ra OM là tia phân giác của \(\widehat {HOE}\)

Do đó \(\widehat {HOM} = \widehat {MOE} = \frac{1}{2}\widehat {HOE}\)

Xét (O) có NK, NE là hai tiếp tuyến cắt nhau tại N

Suy ra ON là tia phân giác của \(\widehat {KOE}\)

Do đó \(\widehat {KON} = \widehat {NOE} = \frac{1}{2}\widehat {KOE}\)

Ta có: \(\widehat {MON} = \widehat {MOE} + \widehat {NOE} = \frac{1}{2}\widehat {HOE} + \frac{1}{2}\widehat {K{\rm{O}}E} = \frac{1}{2}\widehat {HOK} = \frac{1}{2}.2\alpha = \alpha \)

Vậy \(\widehat {MON} = \alpha \)

b) Xét (O) có MH, ME là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M

Suy ra MO là tia phân giác của \(\widehat {HME}\)

Do đó \(\widehat {HMO} = \widehat {OME} = \frac{1}{2}\widehat {HME}\)

Xét (O) có NK, NE là hai tiếp tuyến cắt nhau tại N

Suy ra NO là tia phân giác của \(\widehat {KNE}\)

Do đó \(\widehat {KNO} = \widehat {ONE} = \frac{1}{2}\widehat {KNE}\)

Xét ∆BMO và ∆OMN có:

\(\widehat {BMO} = \widehat {NMO}\) (chứng minh trên);

\(\widehat B = \widehat {MON}\left( { = \alpha } \right)\)

Suy ra (g.g)

Xét ∆CON và ∆OMN có

\(\widehat {CNO} = \widehat {MNO}\) (chứng minh trên);

\(\widehat C = \widehat {MON}\left( { = \alpha } \right)\)

Suy ra (g.g)

Vậy OM, ON chia tứ giác BMNC thành ba tam giác đồng dạng.

c) Vì OM, ON chia tứ giác BMNC thành ba tam giác đồng dạng

Suy ra

Do đó \(\frac{{CO}}{{BM}} = \frac{{CN}}{{BO}}\)

Suy ra BM . CN = CO . BO = a . a = a²

d) Vì tích BM . CN = a² cố định nên tổng BM + CN nhỏ nhất khi BM = CN

Mà AB = AC

Suy ra \(\frac{{BM}}{{AB}} = \frac{{CN}}{{AC}}\)

Do đó MN // BC

Vậy khi MN // BC thì BM + CN nhỏ nhất.

Câu 5:

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Gọi I là trung điểm AB, K là điểm đối xứng với H qua điểm I.

a) Tứ giác ACHI là hình gì ? Vì sao?

b) Tứ giác AHBK là hình gì ? Vì sao?

c) Nếu tam giác ABC đều thì ACHI là hình gì?

d) Tam giác ABC có điều kiện gì thì AHBK là hình vuông.

Xem đáp án

Lời giải

a) Xét tam giác ABH vuông tại H có HI là trung tuyến ứng với cạnh huyền

Suy ra \(HI = \frac{1}{2}AB\)

Mà \(AI = BI = \frac{1}{2}AB\)

Do đó BI = IH

Hay tam giác IBH cân tại I

Suy ra \(\widehat {IBH} = \widehat {IHB}\)

Mà \(\widehat {IBH} = \widehat {ACB}\) (vì tam giác ABC cân tại A)

Do đó \(\widehat {ACB} = \widehat {IHB}\)

Lại có hai góc này ở vị trí đồng vị

Suy ra IH // AC

Do đó IHCA là hình thang

b) Xét tứ giác AHBK có

I là trung điểm của AB và HK

AB và HK là hai đường chéo

Suy ra AHBK là hình bình hành

Mà \(\widehat {AHB} = 90^\circ \)

Suy ra AHBK là hình chữ nhật

c) Nếu tam giác ABC đều thì AB = AC = BC, \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \widehat {BAC}\)

Suy ra HIAC là hình thang cân

d) Để hình chữ nhật AHBK là hình vuông

⇔ AH = BH

\( \Leftrightarrow AH = \frac{1}{2}BC\)

\( \Leftrightarrow \widehat {BAC} = 90^\circ \)

⇔ Tam giác ABC vuông cân tại A

Vậy tam giác ABC vuông cân thì AHBK là hình vuông.

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

Bài thi liên quan:

Các bài thi hot trong chương:

Đánh giá trung bình

Thi Online Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án