Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án (Phần 88)

13800 lượt thi
93 câu hỏi
60 phút

BẮT ĐẦU LÀM BÀI

Câu 1:

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho $\vec{B H} = \frac{1}{3} \vec{H C}$ . Điểm M di động nằm trên BC sao cho $\vec{B M} = x \vec{B C}$ . Tìm x sao cho độ dài của $\vec{M A} + \vec{G C}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Xem đáp án

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho (ảnh 1)

Dựng hình bình hành AGCE

Ta có: $\vec{M A} + \vec{G C} = \vec{M A} + \vec{A E} = \vec{M E}$

Kẻ EF ⊥ BC (F ∈ BC)

Khi đó $|\vec{M A} + \vec{G C}| = |\vec{M E}| = M E \geq E F$

Do đó $|\vec{M A} + \vec{G C}|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi M ≡ F

Gọi P là trung điểm của AC, Q là hình chiếu vuông góc của P lên BC

Vì AGCE là hình bình hành, P là trung điểm của AC

Suy ra P là trung điểm của GE

Do đó $G P = P E = \frac{1}{2} G E$

Vì G là trọng tâm tam giác ABC, BP là trung tuyến

Suy ra $B G = \frac{2}{3} B P, G P = \frac{1}{3} B P$

Ta có: BE = BP + PE

Hay $B E = B P + \frac{1}{3} B P = \frac{4}{3} B P$

Xét ∆BPQ và ∆BEF có

$\hat{F B E}$ là góc chung;

$\hat{B Q P} = \hat{B F E} = 90 °$

Suy ra: ∆BPQ ∽ ∆BEF (g.g)

Do đó $\frac{B P}{B E} = \frac{B Q}{B F} = \frac{3}{4} \Rightarrow \vec{B F} = \frac{4}{3} \vec{B Q}$

Xét DAHC có P là trung điểm của AC và AH // PQ (vì cùng vuông góc với BC)

Suy ra Q là trung điểm của CH

Hay $\vec{H Q} = \frac{1}{2} \vec{H C}$ ; mà $\vec{B H} = \frac{1}{3} \vec{H C}$

Ta có: $\vec{B Q} = \vec{B H} + \vec{H Q} = \frac{1}{3} \vec{H C} + \frac{1}{2} \vec{H C} = \frac{5}{6} \vec{H C} = \frac{5}{6} . \frac{3}{4} \vec{B C} = \frac{5}{8} \vec{B C}$

Do đó: $\vec{B F} = \frac{4}{3} \vec{B Q} = \frac{5}{6} \vec{B C}$

Vậy $x = \frac{5}{6}$ .

Câu 2:

Cho tam giác ABC có $\hat{A} = 70 °$ , các đường phân giác BD, CE cắt nhau ở I. Tính $\hat{B I C}$

Xem đáp án

Trong ∆ABC, ta có: $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180 °$ (tổng ba góc trong tam giác)

Suy ra: $\hat{B} + \hat{C} = 180 ° - \hat{A} = 180 ° - 70 ° = 110 °$

Ta có:

$\hat{B_{1}} = \frac{1}{2} \hat{B}$ (vì BD là tia phân giác)

$\hat{C_{1}} = \frac{1}{2} \hat{C}$ (vì CE là tia phân giác)

Trong ∆BIC, ta có:

$\hat{B I C} + \hat{B_{1}} + \hat{C_{1}} = 180 °$ (tổng 3 góc trong tam giác)

Suy ra: $\hat{B I C} = 180 ° - \frac{1}{2} (\hat{B} + \hat{C}) = 180 ° - \frac{1}{2} .110 ° = 125 °$ .

Câu 3:

Cho tam giác ABC có $\hat{C} = 90 °$ . Kẻ đường cao CH. Biết HB - HA = AC. Tính $\hat{A}, \hat{B}$ .

Xem đáp án

Cho tam giác ABC có góc C = 90 độ . Kẻ đường cao CH. Biết HB - HA = AC. Tính góc A, B . (ảnh 1)

Ta có: HB – HA= AC; HB + HA = AB

Suy ra: $A H = \frac{A B - A C}{2}$

AC² = AH.AB = $\frac{A B - A C}{2} . A B = \frac{A B^{2}}{2} - \frac{A B . A C}{2}$

⇒ $\frac{A B^{2}}{2 A C^{2}} + \frac{- A B}{2 A C} = 1$

⇔ $\frac{A B^{2}}{2 A C^{2}} - \frac{A B}{2 A C} - 1 = 0$

⇔ $[\begin{array}{l} \frac{A B}{A C} = - 1 \\ \frac{A B}{A C} = 2 \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} \frac{A C}{A B} = - 1 \\ \frac{A C}{A B} = \frac{1}{2} \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} \sin \hat{B} = - 1 \\ \sin \hat{B} = \frac{1}{2} \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} \hat{B} = - 90 ° (L) \\ \hat{B} = 30 ° \end{array}$

Suy ra: $\hat{A} = 180 ° - 90 ° - 30 ° = 60 °$ .

Câu 4:

Cho tam giác ABC có góc C nhọn, AH và BK là hai đường cao, HK = $\sqrt{7}$ , diện tích tứ giác ABHK bằng 7 lần diện tích tam giác CHK. Khi đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng?

Xem đáp án

Cho tam giác ABC có góc C nhọn, AH và BK là hai đường cao, HK (ảnh 1)

Ta có: $\hat{A K B} = \hat{A H B} = 90 °$

Suy ra ABHK nội tiếp đường tròn đường kính AB

⇒ $\hat{C H K} = \hat{C A B}, \hat{C K H} = \hat{C B A}$

⇒ ΔCHK ∽ ΔCAB (g.g)

⇒ $\frac{S_{C A B}}{S_{C H K}} = \frac{A B^{2}}{H K^{2}} \Rightarrow \frac{S_{C A B} - S_{C H K}}{S_{C H K}} = \frac{A B^{2}}{7} - 1 \Leftrightarrow \frac{S_{A B H K}}{S_{C H K}} = \frac{A B^{2}}{7} - 1 \Leftrightarrow 7 = \frac{A B^{2}}{7} - 1$

Suy ra: AB = $2 \sqrt{14}$

Mặt khác: $\frac{C H}{C A} = \frac{H K}{A B} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

⇒ $\sin \hat{C} = \frac{C H}{C A} = \frac{\sqrt{2}}{4}$

Do $\frac{A B}{\sin \hat{C}} = 2 R \Rightarrow R = 4 \sqrt{7}$ .

Câu 5:

Cho tam giác ABC cân. Gọi M là trung điểm của đường cao AH, D là giao điểm của AB và CM. Chứng minh: $A D = \frac{1}{3} A B$ .

Xem đáp án

Cho tam giác ABC cân. Gọi M là trung điểm của đường cao AH, D là giao điểm của AB và CM. Chứng minh: . (ảnh 1)

Kẻ HF // DC

Xét tam giác DBC có:

HB = HC (tam giác ABC có AH vừa là đường cao vừa là đường trung trực)

DC // HF

N là trung điểm DB (DN = NB) (1)

Xét tam giác AFH có: M là trung điểm AH (MA = MH)

DM // HF (HF // DC, M thuộc DC)

Suy ra: D là trung điểm NA hay DN = NA (2)

Từ (1), (2): DN = DA = NB

Vậy $A D = \frac{1}{3} A B$

Bắt đầu thi để xem toàn bộ câu hỏi trong đề

Bài thi liên quan:

Các bài thi hot trong chương:

Đánh giá trung bình

Thi Online Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án