Đáp án D

Xét $\left(O_1\right)$ có $O_{1}B = O_{1}A$

$\Rightarrow ∆O_{1}AB$ cân tại $O_1\Rightarrow \widehat{O_{1}BA}=\widehat{O_{1}AB}$

Xét $\left(O_2\right)$ có $O_{2}C = O_{2}A$

$\Rightarrow ∆O_{2}CA$ cân tại $O_2\Rightarrow \widehat{O_{2}CA}=\widehat{O_{2}AC}$

Mà $\widehat{O_1}+\widehat{O_2} = {360}^o -\widehat{C}-\widehat{B}= {180}^o$

$\iff 180o-\widehat{O_{1}BA}-\widehat{O_{1}AB}+ {180}^o -\widehat{O_{2}CA}-\widehat{O_{2}AC}= {180}^o$

$$\begin{gathered} \iff 2\left(\widehat{O_{1}AB}+\widehat{O_{2}AC}\right)= {180}^o \\ \Rightarrow \widehat{O_{1}AB}+\widehat{O_{2}AC}={90}^o\Rightarrow \widehat{BAC}={90}^o \end{gathered}$$

$\Rightarrow ∆$ABC vuông tại A

Vì $∆$ABC vuông tại A có AM là trung tuyến nên $AM = BM = DM =\frac{BC}{2}$

Xét tam giác BMA cân tại M $\Rightarrow \widehat{MBA}=\widehat{MAB}$ mà $\widehat{O_{1}BA}=\widehat{O_{1}AB}$(cmt) nên

$\widehat{O_{1}BA}+\widehat{MBA}=\widehat{O_{1}AB}+\widehat{MAB}\Rightarrow \widehat{O_{1}AM}=\widehat{O_{1}BM}= {90}^o$

$\Rightarrow MA \perp A{O}_1$ tại A nên AM là tiếp tuyến của $\left(O_1\right)$

Tương tự ta cũng có $\Rightarrow MA \perp A{O}_2$ tại A nên AM là tiếp tuyến của $\left(O_2\right)$

Hay AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn

Vậy phương án A, C, D đúng. B sai

Đáp án A

Xét $\left(O_1\right)$ có $O_{1}B = O_{1}A\Rightarrow ∆O_{1}AB$ cân tại $O_1$ $\Rightarrow \widehat{O_{1}BA}=\widehat{O_{1}AB}$

Xét $\left(O_2\right)$ có $O_{2}C = O_{2}A\Rightarrow ∆O_{2}AB$ cân tại $O_2$ $\Rightarrow \widehat{O_{2}CA}=\widehat{O_{2}AC}$

Lại có $O_{1}B // O_{2}C\Rightarrow \widehat{O_{1}BC}+\widehat{O_{2}CB}={180}^o$ (hai góc trong cùng phía bù nhau)

Suy ra $\widehat{O_1}+\widehat{O_2} = {360}^o-\widehat{O_{2}CB}-\widehat{O_{2}BC}= {180}^o$

$\iff {180}^o-\widehat{O_{1}BA}-\widehat{O_{1}AB}+{180}^o-\widehat{O_{2}CA}-\widehat{O_{2}AC}={180}^o$

$$\begin{gathered} \iff 2\left(\widehat{O_{1}AB}+\widehat{O_{2}AC}\right)={180}^o \\ \Rightarrow \widehat{O_{1}AB}+\widehat{O_{2}AC}={90}^o\Rightarrow \widehat{BAC}= {90}^o \end{gathered}$$

Đáp án D

Vì $∆O_{1}BD$ có $O_{1}B // O_{2}C$ nên theo hệ quả định lý Ta-lét ta có:

$\frac{O_{2}D}{O_{1}D}=\frac{O_{2}C}{O_{1}B}=\frac{1}{3}$ suy ra $\frac{O_1{O}_2}{O_{1}D}=\frac{2}{3}$

Mà $O_1{O}_2 = O_{1}A + O_{2}A = 3 + 1 = 4$

$\Rightarrow O_{1}D=\frac{3}{2}.O_1{O}_2=\frac{3}{2}.4=6cm$

Đáp án A

Ta có: $AI= \frac{1}{2}AB=12cm$

Theo định lý Pytago ta có: $O{I}^2 = O{A}^2 – A{I}^2 = 256\Rightarrow OI = 16cm$ và $O’I=\sqrt{O\text{'}{A}^2-I{A}^2}=9cm$

Do đó OO’ = OI – O’I = 16 – 9 = 7(cm)

Đáp án D

Ta có: $AI =\frac{1}{2}AB = 4cm$

Theo định lý Pytago ta có: $O{I}^2 = O{A}^2 – A{I}^2 = {10}^2 – 4^4 = 84\Rightarrow OI = 2\sqrt{21}$ và $O’I=\sqrt{O\text{'}{A}^2-I{A}^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$

Do đó $OO’=OI–O’I= 2\sqrt{21}–3\approx 6,2\left(cm\right)$