Dạng 3: Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm có đáp án

Gọi I là trung điểm CD, ta có: IC = AB và IC // AB => ICBA là hình bình hành.

=> BC = AI.                                                                                       (1)

Tương tự ABID là hình bình hành nên AD = BI.                             (2)

ABCD là hình thang có C = D = 60$°$ nên ABCD là hình thang cân                                                                                                            (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hai tam giác $∆$IAD = $∆$IBC đều hay IA = IB = IC = ID hay bốn điểm A, B ,C, D cùng thuộc một đường tròn.

Vì MA, MC là tiếp tuyến nên: MAO = MCO = 90$°$

=> AMCO là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MO.

ADB = 90$°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

=> ADM = 90$°$.                                                                (1)

Ta có OA = OC = R, MA = MC (tính chất tiếp tuyến).

Suy ra OM là đường trung trực của AC.

=> AEM = 90$°$.                                                                (2)

Từ (1) và (2) suy ra AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính MA.

Ta thấy CFE là góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn và chắn hai cung CE, AD.

FCE là góc nội tiếp chắn cung ED. Mà CE = EB, AD = BD nên FCE = CFE => $∆$CFE  cân tại E.