Bài tập tự luyện có đáp án

Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn ( O ; R ) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B,C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M, vẽ MI $\perp$ AB, MK $\perp$ AC ( I $\in$ AB , K $\in$ AC).

a) Chứng minh AIMK là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) Vẽ MP $\perp$ BC ( P $\in$ BC) . Chứng minh CPMK là tứ giác nội tiếp.

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm), AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn ( O ) tại D (D khác B). Chứng minh AMCO và AMDE là các tứ giác nội tiếp đường tròn.

Cho điểm M thuộc cung nhỏ BC của đường tròn (O). Một đường thẳng d ở ngoài (O) và vuông góc với đường thẳng OM; đường thẳng CM,BM cắt d lần lượt tại D, E. Chứng minh rằng B , C , D , E cùng thuộc một đường tròn.

Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Vẽ AC, AD theo thứ tự là đường kính của hai đường tròn (O) và (O').

a) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng.

b) Đường thẳng AC cắt đường tròn (O') tại E; đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại F (E, F khác A). Chứng minh bốn điểm C, D, E, F cùng nằm trên một đường tròn.

c) Chứng minh ba đường thẳng AB, CF và DE đồng quy tại một điểm I.

d) Chứng minh tứ giác BDIF nội tiếp được trong một đường tròn.

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn ( AB < AC), các đường AF, BD, CE cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp được trong một đường tròn.

b) Chứng minhAE.AB = AD.AC

c) Chứng minh FH là đường phân giác của DFE.

Cho hình thang cân ABCD ( AB > CD, AB // CD ) nội tiếp trong đường tròn (O). Kẻ các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và D chúng cắt nhau ở E. Gọi M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

a) Chứng minh tứ giác AEDM nội tiếp được trong một đường tròn.

b) Chứng minhEM // AB.

c) Đường thẳng EM cắt cạnh AD và BC của hình thang lần lượt ở H và K. Chứng minh M là trung điểm HK.

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R, dây cung AC. Gọi M là điểm chính giữa cung AC. Đường thẳng kể từ C song song với BM cắt tia AM ở K và cắt tia OM ở D, OD cắt AC tại H.

a) Chứng minh tứ giác CKMH nội tiếp.

b) Chứng minhCD = MB và DM = CB.

c) Xác định vị trí điểm C trên nửa đường tròn (O) để AD là tiếp tuyến của nửa đường tròn.

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = a. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (O) (M khác  A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn (O); nó cắt Ax, By lần lượt ở E và F.

a) Chứng minh: EOF = 90$°$.

b) Chứng minh tứ giác AEMO nội tiếp; hai tam giác MAB và OEF đồng dạng.

c) Gọi K là giao điểm của AF và BE. Chứng minh MK $\perp$ AB.

Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB có bán kính R, tiếp tuyến Ax. Trên tiếp tuyến Ax lấy điểm F sao cho BF cắt đường tròn tại C, tia phân giác của góc ABF cắt Ax tại E và cắt đường tròn tại D.

a) Chứng minh OD // BC

b) Chứng minh hệ thức: BD.BE = BC.BF.

c) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp.

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm là điểm H. Gọi M là điểm trên dây cung BC không chứa điểm A (M khác B,C). Gọi N, P theo thứ tự là các điểm đối xứng của M qua các đường thẳng AB, AC.

a) Chứng minh AHCP là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh N, H, P thẳng hàng.

c) Tìm vị trí điểm M để độ dài đoạn NP lớn nhất.

Cho đường tròn (O;R) với dây cung AB không đi qua tâm. Lấy S là một điểm bất kì trên tia đối của tia AB (S khác A). Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SC, SD với đường tròn (O;R) sao cho điểm C nằm trên cung nhỏ AB (C,D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB.

a) Chứng minh năm điểmC, D, H, O, S thuộc đường tròn đường kính SO.

b) Khi SO = 2R, hãy tính độ dài đoạn thẳng SD theo R và tính số đo góc SCD.