Đáp án A

Gọi O là trung điểm AI. Xét tam giác vuông AIK có:

OK = OI = OA $\Rightarrow K\in \left(O;\frac{AI}{2}\right) (*)$

Ta đi chứng minh OK $\perp$ KH tại K.

Xét tam giác OKA cân tại O có $\widehat{OKA}=\widehat{OAK}$ (1)

Vì tam giác ABC cân tại A có đường cao AH nên H là trung điểm của BC. Xét tam giác vuông BKC có $HK=HB=HC=\frac{BC}{2}$

Suy ra tam giác KHB cân tại H nên $\widehat{HKB}=\widehat{HBK}$ (2)

Mà $\widehat{HBK}=\widehat{KAH}$ (cùng phụ với $\widehat{ACB}$) (3)

Từ (1); (2); (3) suy ra góc HKB = góc AKO mà:

$\widehat{AKO}+\widehat{OKI} = {90}^o\Rightarrow \widehat{HKB}+\widehat{OKI}= {90}^o\Rightarrow \widehat{OKH}= {90}^o$ hay OK $\perp$ KH tại K (**)

Từ (*) và (**) thì HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI

Đáp án B

Lấy E là trung điểm của AH. Do M là trung điểm của BH (gt) nên EM là đường trung bình của $∆$AHB $\Rightarrow$ AM // AB và $EM =\frac{1}{2}AB$

Hình chữ nhật ABCD có CD // AB và CD = AB mà N là trung điểm của DC, suy ra DN // AB và $DN =\frac{1}{2}AB$

Từ (1) và (2) ta có AM // DN và AM = DN

Suy ra tứ giác AMND là hình bình hành, do đó DI // MN

Do EM // AB mà AB $\perp$ AD (tính chất hình chữ nhật)

AH $\perp$ DM (dt) nên E là trực tâm của ADM

Suy ra DE $\perp$ AM, mà DE // MN (cmt) $\Rightarrow$ MN $\perp$ AM tại M

Vì vậy MN là tiếp tuyến của đường tròn (A; AM)

Đáp án A

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BH và CH

Để chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I đường kính BH ta chứng minh ID $\perp$ DE hay $\widehat{ODI} = {90}^o$

Vì D, E lần lượt thuộc đường tròn đường kính BH và HC nên ta có $\widehat{BDH}=\widehat{CEH}={90}^o$

Suy ra tứ giác ADHE là hình chữ nhật

Gọi O là giao điểm của AH và DE, khi đó ta có OD = OH = OE = OA

Suy ra $∆$ODH cân tại I $\Rightarrow \widehat{ODH}=\widehat{OHD}$

Ta cũng có $∆$IDH cân tại I $\Rightarrow \widehat{IDH}=\widehat{IHD}$

Từ đó $\Rightarrow \widehat{IDH}+\widehat{HDO}=\widehat{IHD}+\widehat{DHO}\Rightarrow \widehat{IDO}={90}^o$$\Rightarrow ID\perp DE$

Ta có $ID \perp DE$, D $\in$ (I) nên DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BH

Từ chứng minh trên, suy ra các phương án B, C, D đúng

Đáp án A

Tam giác OBC cân tại O có $\widehat{OBC} = {60}^o$

Nên tam giác OCB là tam giác đều suy ra BC = OB = OC = 2

Xét tam giác OCM có $BC = OB = BM = 2 =\frac{OM}{2}$ nên $∆$OCM vuông tại C

$\Rightarrow OC \perp CM \Rightarrow MC$ là tiếp tuyến của (O; 2cm)

Đáp án C

Tam giác OBC cân tại O có $\widehat{OBC} = {60}^o$

Nên tam giác OCB là tam giác đều suy ra BC = OB = OC = 2

Xét tam giác OCM có $BC = OB = BM = 2 =\frac{OM}{2}$ nên $∆$OCM vuông tại C

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông OCM, ta có $M^2 = O{C}^2 + M{C}^2$

$$\begin{gathered} \Rightarrow M{C}^2 = O{M}^2 – O{C}^2 = 4^2 – 2^2 = 12 \\ \Rightarrow MC = 2\sqrt{3} cm \end{gathered}$$