Bài tập Hình học không gian cơ bản, nâng cao có lời giải (P3)

Cho tứ diện ABCD có đáy BCD là tam giác đều, trọng tâm G. $∆$ là đường thẳng qua G và vuông góc với (BCD). A chạy trên $∆$ sao cho mặt câu ngoại tiếp ABCD có thể tích nhỏ nhất. Khi đó thể tích khối ABCD là:

Cho $∆$ABC và điểm M thỏa mãn $\stackrel{\rightharpoonup }{BM} = 2\stackrel{\rightharpoonup }{CM}$. F là một phép dời hình. Gọi $A_1 = F\left(A\right), B_1 = F\left(B\right), C_1 = F\left(C\right), M_1 = F\left(M\right)$. Biết AB = 4, BC = 5, AC = 6. Khi đó độ dài đoạn $A_1{M}_1$  bằng:

Hình nào sau đây không phải là hình biểu diễn của một tứ diện trong không gian?

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi H là trung điểm của A'B'. Đường thẳng B'C song song với mặt phẳng nào sau đây?

Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, $\widehat{ASB} = \widehat{BSC} = \widehat{CSA} = \alpha$ . Gọi  là mặt phẳng đi qua A và các trung điểm của SB, SC. Tính diện tích thiết diện S của hình chóp cắt bởi mặt phẳng ($\beta$)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ D đến (SBC) bằng $\frac{2a}{3}$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC.

Hình lập phương có tất cả bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh SA$\perp$(ABC). Góc giữa đường thẳng SB và đáy (ABC) bằng 60°. Khi đó thể tích khối chóp tính theo a là

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C'. Gọi M là trung điểm A'C', I  là giao điểm của AM và A'C. Khi đó tỉ số thể tích của khối tứ diện IABC với khối lăng trụ đã cho bằng:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = y > 0 và vuông góc với đáy. Trên AD lấy điểm M, đặt AM = x (0 < x < a). Nếu $x^2 +\hspace{0.17em}{y}^2 = a^2$  thì giá trị lớn nhất của thể tích S.ABCM bằng:

Cho hình nón có chiều cao h và góc ở đỉnh bằng 90°. Thể tích của khối nón xác định bởi hình nói trên là:

Một hình trụ có bán kính đáy $a\sqrt{3}$ , chiều cao là 2$a\sqrt{3}$. Diện tích của mặt cầu nội tiếp hình trụ bằng:

Trong không gian cho hình thoi ABCD có cạnh là 5cm và góc $\widehat{ABC} = {60}^0$ . Tính diện tích xung quanh S của hình thu được khi quay hình thoi quanh trục DB.

Hình bên cho ta ảnh của một đồng hồ cát với kích thước kèm theo OA = OB. Khi đó tỉ số thể tích của hai hình nón $V_n$ và thể tích hình trụ $V_t$  bằng:

Cho hình chóp tứ giác đều  có tất cả các cạnh bằng d. Gọi M là trung điểm của SD. O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Tang của góc tạo bởi hai đường thẳng BM và SO là:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và B'C bằng:

Cho tứ diện O.ABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và  Gọi M là trung điểm BC (tham khảo hình vẽ bên). Góc giữa đường thẳng OM và AB bằng:

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khi đó thể tích của khối tứ diện AA'C'D' bằng:

Cho tam giác ABC đều cạnh bằng a, trọng tâm G. Tam giác AGC quay quanh AG tạo thành một khối tròn xoay có thể tích là:

Cho hình chóp S.ABC có thể tích bằng V. Gọi I  là trung điểm của SA. Thể tích của khối chóp I.ABC là:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc $\widehat{SBC} = {60}^0$. Tính theo a thể tích khối chóp .

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, $\widehat{BAD} = {60}^0$. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc đoạn AC sao cho $\stackrel{\rightharpoonup }{AC} = 3\stackrel{\rightharpoonup }{AH}$, mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc ${60}^0$ . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi, cạnh $a\sqrt{3}$. Hình chiếu vuông góc với B' trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm AC, mặt phẳng (CDD'C') tạo với đáy góc ${60}^0$ .Tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D'

Một hình trụ có tâm các đáy là A,B. Biết rằng mặt cầu đường kính AB tiếp xúc với các mặt, đáy của hình trụ tại A,B và tiếp xúc với mặt xung quanh của hình trụ đó. Diện tích của mặt cầu này là $16\mathrm{\pi }$. Tính diện tích xung quanh của mặt trụ đã cho.

Trong không gian cho đường thẳng $a\subset \left(\alpha \right), b\subset \left(\beta \right), \left(\alpha \right)//(\beta$ . Kết quả nào sau đây là đúng?

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = 2a, hình chiếu vuông góc của A' lên ABC là trung điểm H của AC. Đường thẳng A'B tạo với (ABC) một góc ${45}^0$ . Phát biểu nào sua đây là đúng?

Trong các hình sau, hình nào là hình chóp cụt?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SA biết $AD = a\sqrt{3}, AB\hspace{0.17em}= a$ . Khi đó khoảng cách từ C đến (MBD) là:

Cho $∆$ABC vuông tại A, cạnh AB = 4, BC = 5. Quay $∆$ABC quanh AB được khối nón có thể tích $V_1$ , quay $∆$ABC quanh AC được khối nón có thể tích $V_2$ thì:

Người ta cắt đôi đoạn dây thép dài 10m thành hai phần. Phần 1 lại cắt thành 6 phần bằng nhau và ghép thành một hình tứ diện, phần 2 lại cắt thành 12 phần bằng nhau và ghép thành một hình lập phương sao cho tổng diện tích xung quanh của hai hình là nhỏ nhất.

Gọi a là độ dài cạnh của hình tứ diện, b là độ dài cạnh của hình lập phương thì a + b là: