$\begin{array}{l} \cos 78^{0} = \sin 12^{0}; \cos 68^{0} = \sin 22^{0}, \cos 50^{0} = \sin 40^{0} \\ \Rightarrow \sin 54^{0} > \sin 40^{0} > \sin 27^{0} > \sin 22^{0} > \sin 19^{0} > \sin 12^{0} \\ h a y \sin 54^{0} > \cos 50^{0} > \sin 27^{0} > \cos 68^{0} > \sin 19^{0} > \cos 68^{0} \end{array}$

Câu 2/26

Cho $Δ A B C$ có $A B = 9 c m, A C = 12 c m, B C = 15 c m,$ AH là đường cao.

a) Chứng minh $Δ A B C$ vuông

b b) Tính BH, CH

c) Chứng minh $\sqrt{B H . H C} \leq \frac{B C}{2}$

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC có AB = 9cm, AC = 12cm, BC = 15cm, AH là đường cao. (ảnh 1)

a) Ta có:

B C^{2} = 15^{2} = 225

;

A B^{2} + A C^{2} = 9^{2} + 12^{2} = 225 \Rightarrow B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}

$\Rightarrow B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} \Rightarrow Δ A B C$ vuông tại A (định lý Pytago đảo)

b b) Áp dụng hệ thức lượng vào $Δ A B C$ vuông tại A, đường cao AH

\Rightarrow A B^{2} = B H . B C \Rightarrow B H = \frac{A B^{2}}{B C} = \frac{9^{2}}{15} = 5, 4 (c m) \Rightarrow H C = 9, 6 c m

c c) $B H . H C = A H^{2}$ . Gọi M là trung điểm BC mà $A H \leq A M = \frac{1}{2} B C$ (tính chất đường trung tuyến) $\Rightarrow B H . H C \leq {(\frac{1}{2} B C)}^{2} \Rightarrow B H . H C \leq \frac{1}{4} B C^{2}$ . Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow H \equiv M$

Câu 3/26

Cho $Δ A B C$ vuông tại A, có $A B = 5 c m, A C = 12 c m .$ Giải tam giác ABC.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 5cm, AC = 12cm. Giải tam giác ABC. (ảnh 1)

Áp dụng định lý Pytago vào $Δ A B C$ vuông tại A, ta có:

\begin{array}{l} B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} \Rightarrow B C = \sqrt{5^{2} + 12^{2}} = 13 (c m) \\ \sin ​ B = \frac{A C}{B C} = \frac{12}{13} \Rightarrow \hat{B} = 67^{0} \Rightarrow \hat{C} = 90^{0} - 67^{0} = 23^{0} \end{array}

Vậy

B C = 13 c m, \hat{B} = 67^{0}, \hat{C} = 22^{0}

Câu 4/26

Cho $Δ A B C$ có đường trung tuyến AM bằng cạnh AC.

Chứng minh rằng : $\tan B = \frac{1}{3} \tan C$

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM bằng cạnh AC. Chứng minh rằng (ảnh 1)

Vẽ đường cao $A H, d o Δ A M C$ cân tại A nên AH đường cao cũng là đường trung tuyến

\Rightarrow M H = H C = \frac{1}{2} M C \Rightarrow M C = 2 M H = 2 C H \Rightarrow B H = 3 H C

$Δ H A B$ vuông tại H $\Rightarrow \tan B = \frac{A H}{B H}$

$Δ H A C$ vuông tại H $\Rightarrow \tan C = \frac{A H}{H C} \Rightarrow \tan B = \frac{1}{3} \tan C$

Câu 5/26

Cho $Δ A B C$ nhọn có $\hat{A} = 60^{0} .$ Chứng minh rằng: $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - A B . A C$

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC nhọn có góc A = 60 độ. Chứng minh rằng: (ảnh 1)

Vẽ $B H ⊥ A C \Rightarrow Δ A H B$ nửa đều và $Δ B H C$ vuông tại H

\Rightarrow B C^{2} = A H^{2} + H C^{2} = (A B^{2} - A H^{2}) + {(A C - A H)}^{2}

\Rightarrow B C^{2} = A B^{2} - A H^{2} + A C^{2} - 2. A C . A H + A H^{2}

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2. A C . A H

$B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - A B . A C$ (do $Δ B H C$ nửa đều nên AB = 2AH) (đpcm)

Câu 6/26

Cho $Δ M N P$ vuông tại M, MH là đường cao, MN = 16cm, MP = 30cm.

a) Giải tam giác vuông (độ dài lấy 2 chữ số thập phân, góc làm tròn đến phút)

b) Tính NH, PH

c) Phân giác ND của $\hat{N} (D \in M H) .$ Tính MD, DH

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác MNP vuông tại M, MH là đường cao, MN = 16cm, MP = 30cm. (ảnh 1)

a a) Áp dụng định lý Pytago vào $Δ M N P$ vuông tại M

$\Rightarrow N P = \sqrt{M N^{2} + N P^{2}} = \sqrt{16^{2} + 30^{2}} = 34 (c m)$

$\sin N = \frac{M P}{N P} = \frac{30}{34} \Rightarrow \hat{N} \approx 62^{0} \Rightarrow \hat{P} = 90^{0} - \hat{N} = 90^{0} - 62^{0} = 28^{0}$

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $\Rightarrow N H . N P = N M^{2}$

Hay $N H .34 = 16^{2} \Rightarrow N H = \frac{128}{17} (c m) \Rightarrow P H = 34 - \frac{128}{17} = \frac{450}{17} (c m)$

c) $Δ M N H$ có ND là phân giác $\Rightarrow \frac{M D}{D H} = \frac{M N}{N H}$ , áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau $\Rightarrow \frac{D H + M D}{D H} = \frac{N H + M N}{N H} \Rightarrow \frac{M H}{D H} = \frac{N H + M N}{N H} (*)$

Ta có: $M H = \sqrt{N H . H P}$ (hệ thức lượng) $\Rightarrow M H = \frac{240}{17} (c m)$ . Thay vào (*)

Vậy $D H = \frac{384}{85} c m, M D = \frac{48}{5} c m$

Câu 7/26

Giải phương trình:

$\begin{array}{l} 2 + \sqrt{3 x} + 4 = x \end{array}$

Xem đáp án

Lời giải

$\begin{array}{l} 2 + \sqrt{3 x} + 4 = x (x \geq 0) \\ \Leftrightarrow \sqrt{3 x} = x - 6 (x \geq 6) \\ \Rightarrow 3 x = x^{2} - 12 x + 36 \\ \Leftrightarrow x^{2} - 3 x - 12 x + 36 = 0 \\ \Leftrightarrow x (x - 3) - 12 (x - 3) = 0 \\ \Leftrightarrow (x - 12) (x - 3) = 0 \Rightarrow [\begin{array}{l} x = 12 (t m) \\ x = 3 (k t m) \end{array} \end{array}$

Câu 8/26

Cho biểu thức $B = \frac{a \sqrt{a} - 1}{a - \sqrt{a}} - \frac{a \sqrt{a} + 1}{a + \sqrt{a}} + (1 - \frac{1}{\sqrt{a}}) (\frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1} + \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1})$

a) Tìm ĐKXĐ – Rút gọn B

b) Tìm a để B = 7

Xem đáp án

Lời giải

$\begin{array}{l} B = \frac{a \sqrt{a} - 1}{a - \sqrt{a}} - \frac{a \sqrt{a} + 1}{a + \sqrt{a}} + (1 - \frac{1}{\sqrt{a}}) (\frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} - 1} + \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a} + 1}) \\ = \frac{(\sqrt{a} - 1) (a + \sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a} . (\sqrt{a} - 1)} - \frac{(\sqrt{a} + 1) (a - \sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a} . (\sqrt{a} + 1)} + \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a}} . [\frac{{(\sqrt{a} + 1)}^{2} + {(\sqrt{a} - 1)}^{2}}{(\sqrt{a} - 1) (\sqrt{a} + 1)}] \\ = \frac{a + \sqrt{a} + 1 - a + \sqrt{a} - 1}{\sqrt{a}} + \frac{\sqrt{a} - 1}{\sqrt{a}} . \frac{2 \sqrt{a} + 2}{(\sqrt{a} - 1) (\sqrt{a} + 1)} \\ = \frac{2 \sqrt{a}}{\sqrt{a}} + \frac{2 (\sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a} . (\sqrt{a} + 1)} = 2 + \frac{2}{a} = \frac{2 \sqrt{a} + 2}{\sqrt{a}} \end{array}$

$b) B = 7 \Rightarrow 2 \sqrt{a} + 2 = 7 \sqrt{a} \Leftrightarrow 5 \sqrt{a} = 2 \Rightarrow a = \frac{4}{25} (t m)$

Câu 9/26