ĐK:  $x\ne m$

Ta có: $y\text{'}=\frac{m^2-m+2}{{\left(x-m\right)}^2}$ nhận thấy $m^2-m+2={\left(m-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{7}{4}>0,\forall m$ nên  $y\text{'}>0\forall m$

Hay hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Để hàm số đạt $GTLN$ trên $\left[0;4\right]\Rightarrow m\notin \left[0;4\right]\iff \left[\begin{array}{c}m<0\\ m>4\end{array}\right.$ 

Suy ra $\underset{\left[0;4\right]}{\max }y=y\left(4\right)=\frac{4-m^2-2}{4-m}$. Theo bài ra ta có:$\frac{4-m^2-2}{4-m}=-1\Rightarrow -m^2+2=m-4\iff m^2+m+6=0\Rightarrow \left[\begin{array}{c}m=2\left(ktm\right)\\ m=-3\left(tm\right)\end{array}\right.$

Vậy có một giá trị của m thỏa mãn

Đáp án cần chọn là: C

Ta có:$x^2+y^2-4x+6y+4+\sqrt{y^2+6y+10}=\sqrt{6+4x-x^2}$

$\iff x^2+y^2-4x+6y+4+\sqrt{y^2+6y+10}-\sqrt{6+4x-x^2}=0$

$\iff x^2+y^2-4x+6y+4+\frac{\left(\sqrt{y^2+6y+10}-\sqrt{6+4x-x^2}\right)\left(\sqrt{y^2+6y+10}+\sqrt{6+4x-x^2}\right)}{\sqrt{y^2+6y+10}+\sqrt{6+4x-x^2}}=0$

$\iff x^2+y^2-4x+6y+4+\frac{y^2+6y+10-6-4x+x^2}{\sqrt{y^2+6y+10}+\sqrt{6+4x-x^2}}=0$

$\iff x^2+y^2-4x+6y+4+\frac{x^2+y^2-4x+6y+4}{\sqrt{y^2+6y+10}+\sqrt{6+4x-x^2}}=0$

$\iff \left(x^2+y^2-4x+6y+4\right)+\left(1+\frac{1}{\sqrt{y^2+6y+10}+\sqrt{6+4x-x^2}}\right)=0$

$\iff x^2+y^2-4x+6y+4=0$

 (vì $1+\frac{1}{\sqrt{y^2+6y+10}+\sqrt{6+4x-x^2}}>0$)

$\iff {\left(x-2\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2=9$

Phương trình $\iff {\left(x-2\right)}^2+{\left(y+3\right)}^2=9$ là phương trình đường tròn $\left(C\right)$ tâm $I\left(2;-3\right)$ và bán kính R = 3.

Gọi $N\left(x;y\right)\in \left(C\right)$ ta suy ra $ON=\sqrt{x^2+y^2}$ suy ra  $T=\left|ON-a\right|$

Gọi A, B là giao điểm của đường tròn $\left(C\right)$ và đường thẳng OI.

Khi đó, $OA=OI-R=\sqrt{13}-3$ và $OB=OI+R=\sqrt{13}+3$ 

Suy ra  $\sqrt{13}-3\le \sqrt{x^2+y^2}\le \sqrt{13}+3$

TH1: nếu $\sqrt{13}-3\le a\le \sqrt{13}+3$ thì  $\left|\sqrt{x^2+y^2}-a\right|\ge 0\Rightarrow \min T=0\Rightarrow M\ge 2m\Rightarrow a\in \left\{1;2;3;4;5;6\right\}$

TH2: Nếu $a<\sqrt{13}-3\Rightarrow a<\sqrt{13}$ nên $\left|\sqrt{13}+3-a\right|>\left|\sqrt{13}-3-a\right|$, do đó $M=\left|\sqrt{13}+3-a\right|;m=\left|\sqrt{13}-3-a\right|$

Vì $M\ge 2m\Rightarrow \left|\sqrt{13}+3-a\right|\ge 2\left|\sqrt{13}-3-a\right|$

$\iff {\left(\sqrt{13}-3-a\right)}^2-{\left(2\sqrt{13}+6-2a\right)}^2\ge 0\iff \sqrt{13}+1\le a\le \sqrt{13}+9\Rightarrow a\in \left\{5;6;7;8;9;10\right\}$

Vậy có 10 giá trị của a thỏa mãn đề bài.

Đáp án cần chọn là: B

$f\left(x\right)>\sin \frac{\pi x}{2}+m,\forall x\in \left[-1;3\right]\iff g\left(x\right)=f\left(x\right)-\sin \frac{\pi x}{2}>m\forall x\in \left[-1;3\right]$

$\Rightarrow m<\underset{\left[-1;3\right]}{\min }g\left(x\right)$

Từ đồ thị hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)$ ta suy ra BBT đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)$ như sau:

Dựa vào BBT ta thấy  $f\left(x\right)\ge f\left(1\right)\forall x\in \left[-1;3\right]$

$x\in \left[-1;3\right]\Rightarrow \frac{\pi x}{2}\in \left[-\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right]\Rightarrow -1\le \sin \frac{\pi x}{2}\le 1$

$\iff -1\le -\sin \frac{\pi x}{2}\le 1$

$\Rightarrow f\left(1\right)-1\le f\left(x\right)-\sin \frac{\pi x}{2}\iff g\left(x\right)\ge f\left(1\right)-1\Rightarrow \underset{\left[-1;3\right]}{\min }g\left(x\right)=f\left(1\right)-1$

Vậy  $m<f\left(1\right)-1$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:$f\left(x\right)=\frac{1}{x^2-4x+5}-\frac{x^2}{4}+x$

$f\left(x\right)=\frac{1}{x^2-4x+5}-\frac{x^2-4x}{4}$

Đặt $t=x^2-4x+5$ với $x\in \left[0;3\right]$ ta có:  $t\text{'}=2x-4=0\iff x=2\in \left[0;3\right]$

Ta có:  $t\left(0\right)=5;t\left(2\right)=1;t\left(3\right)=2$

$\Rightarrow$ với $x\in \left[0;3\right]\Rightarrow t\in \left[1;5\right]$ khi đó hàm số trở thành $f\left(t\right)=\frac{1}{t}-\frac{t-5}{4}$ với  $t\in \left[1;5\right]$

Ta có:  $f\text{'}\left(t\right)=-\frac{1}{t^2}-\frac{1}{4}<0\forall t\in \left[1;5\right]$

$\Rightarrow$ hàm số $y=f\left(t\right)$ nghịch biến trên

 $\left[1;5\right]\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}\underset{\left[0;3\right]}{\max }f\left(x\right)=\underset{\left[1;5\right]}{\max }f\left(t\right)=f\left(1\right)=2=M\\ \underset{\left[0;3\right]}{\min }f\left(x\right)=\underset{\left[1;5\right]}{\min }f\left(t\right)=f\left(5\right)=\frac{1}{5}=m\end{array}\right.$  

Vậy $M-m=2-\frac{1}{5}=\frac{9}{5}$  

Đáp án cần chọn là: D

Ta có:  $g\text{'}\left(x\right)=2f\text{'}\left(x\right)-2\left(1-x\right)=2\left[f\text{'}\left(x\right)-\left(1-x\right)\right]$

Xét $g\text{'}\left(x\right)=0\iff f\text{'}\left(x\right)=1-x$, số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số $y=f\text{'}\left(x\right)$ và đường thẳng  $y=1-x$

Ta biểu diễn đường thẳng: $y=1-x$ trên hình vẽ:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy  $f\text{'}\left(x\right)=1-x\iff \left[\begin{array}{c}x=-4\\ x=-1\\ x=3\end{array}\right.$

Từ đó, ta suy ra bảng xét dấu $g\text{'}\left(x\right)$ như sau:

Vậy hàm số đạt GTNN tại x = - 1.

Đáp án cần chọn là: A